【Learning】 莫比乌斯反演
莫比乌斯反演
对于两个定义域为非负整数的函数\(F(n)\)和\(f(n)\)
若满足：\(F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\)，则反演得到\(f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac n d)\)；
常用变式：若满足：\(F(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)\)，则反演得到\(f(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac d n)F(d)\) 。
\(\mu(i)\)函数（莫比乌斯函数）
定义：
按照定义用线性筛来求解：
循环\(i\)，判定\(i\)为素数时，令\(\mu(i)=-1\)；
筛到\(x\)时(\(x=i*p\))，若\(i|p\)，则\(x\)有\(p^2\)这个因子，此时令\(\mu(x)=0\)；
否则\(i\nmid p\)，则\(x\)的互异素数数量加1，则令\(\mu(x)=-\mu(i)\)
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
lis[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*lis[j]<=n;j++){
vis[i*lis[j]]=1;
if(i%lis[j]==0){
mu[i*lis[j]]=0;
break;
}
mu[i*lis[j]]=-mu[i];
}
}
\(\mu(i)\)函数性质：（1）它是积性函数。
（2）对于\(n\in\mathbb{N}^*\)：
求解应用
BZOJ2820 GCD
给定\(n,m\)，求满足\(1\le x\le n,1\le y\le m\) 且 \(gcd(x,y)\)为质数的\((x,y)\)有多少对.
我们设出两个函数，使得它们满足反演变式的关系：\(F(d)\)表示\(d\mid gcd(x,y)\) 的有多少对，\(f(d)\) 表示\(gcd(x,y)=d\)的有多少对，其中\(1\le x\le n,1\le y\le m\).
它们确实满足\(F(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)\) . 故\(f(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac d n)F(d)\). 方便的是$$F(d)=\lfloor \frac n d\rfloor\lfloor\frac m d \rfloor $$，即每个数对可以看成\((d*x,d*y)\)，然后考虑\(x\)和\(y\)的取值各有多少种，乘起来便是\(F(d)\) ，因此\(f(n)=\sum\limits_{n\mid d }\mu(\frac d n)\lfloor \frac n d\rfloor\lfloor\frac m d \rfloor\).
令\(g(x)=\sum_\limits{p\mid x}\mu(\frac x p)\) ，那么现在的任务是求出所有的\(g(x)\). 考虑用线性筛的方式来求:
循环\(i\)， 判定\(i\)是质数时，令\(g(i)=\mu(1)=1\)
筛到\(x\)时(\(x=i*P\))，若\(P\mid i\)，则\(x\)有\(P^2\)这个因子，除非求值式中的\(p\)将\(x\)中的\(P^2\)除去，否则\(\mu(\frac x p)=0\)，唯一一个有值的是当\(p=P\)时\(\mu(\frac x P)=\mu(i)\). 综合，\(g(x)=\mu(i)\)
若\(P\nmid i\)，则\(P\)与\(i\)互质。当\(p=P\)时，值是\(\mu(\frac {iP}P)=\mu(i)\)。
当\(p\ne P\)时，循环的\(p\)和g(i)中循环的\(p\)是一样的 ，则$$且\sum_{p|x且p!=P}\mu(\frac xp)=\sum_{p|i}\mu(\frac i pP)=\sum_{p|i}\mu(\frac i p)\mu(P)=\mu(P)\sum_{p|i}\mu(\frac ip)=-1g(i)=-g(i)$$
综合，\(g(x)=\mu(i)-f(i)\)
于是用线性筛求出了\(g(x)\)
回到答案的表达式\(ans=\sum\limits_{T=1}^{min(n,m)}\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor\sum_{p\mid T}\mu(\frac T p)\)，如果循环\(1...min(n,m)\)显然不够快，考虑\(\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor\)的取值是根号级别的，对于每一组\(\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor\)相等的\(l\leq T\leq r\)，可以加快计算，将\(\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor\)提取出来，那么这些\(T\)的贡献就是\(\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor\sum\limits_{i=l}^rg(i)\)，预处理出\(g(i)\)的前缀和即可。
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=10000001;
typedef long long ll;
int T,n,m;
int mu[N],g[N];
int vis[N],lis[N],cnt;
inline void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y;y=t;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int main(){
freopen("input.in","r",stdin);
mu[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(!vis[i]){
lis[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
g[i]=1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*lis[j]<N;j++){
int p=lis[j],x=i*p;
vis[x]=1;
if(i%lis[j]==0){
mu[x]=0;
g[x]=mu[i];
break;
}
else{
mu[x]=-mu[i];
g[x]=mu[i]-g[i];
}
}
}
for(int i=1;i<N;i++) g[i]+=g[i-1];
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
ll ans=0;
for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=1LL*(n/i)*(m/i)*(g[j]-g[i-1]);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
