【Learning】一步步地解释Link-cut Tree
简介
Link-cut Tree，简称LCT。
干什么的？它是树链剖分的升级版，可以看做是动态的树剖。
树剖专攻静态树问题；LCT专攻动态树问题，因为此时的树剖面对动态树问题已经无能为力了（动态树问题通常夹杂着树的操作，如删边与连边。这是线段树无法应对的）。
LCT难写吗？不难写啊...
预备知识：Splay（没有接触也没有关系，打一打LCT也差不多懂了）、树链剖分。
1. LCT概念
树链剖分把树分成若干条重链，对于每条重链，用线段树来维护信息。利用各线段树的信息来得到答案。
模仿一下：
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- LCT把树分成若干条重链：
这是假的重链！树剖是挑选重儿子来延续重链；而LCT的重链是随缘的......
我们先不管这里的重链是怎么确定的，因为在LCT中，重链是可以随时更改的！
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- $access(u)$，这是我们的更改操作。作用是将$u$到原树根节点的一路都变成重链，同时，经过节点将会与原本属于的重链断开，如图，这是我们要维护的原树：
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- 对于每条重链，我们用一棵Splay来维护信息，利用各Splay的信息来得到答案。
2. 存储方式
LCT是怎么存储的？其中涉及到的$access$操作可能会对Splay进行删点或加点......
我们的每条重链的Splay，都是连在一起的，但又是相互独立的！看图：
橙色边为每棵Splay，灰色边表示的是Splay之间的连接边。
每棵Splay储存照常，Splay的中序遍历即重链节点从浅到深的排列。每棵Splay内节点的关系可能和原树不同，但是与其他Splay连边的节点没有改变。
由此，每棵Splay可以维护一条链上的信息。
但只有每棵Splay的根节点能连向其他Splay的某个节点（灰色边）。Splay根节点$root$记录它的父亲是谁（有的Splay根节点$root$没有父亲），而它的父亲并不记录自己有这个儿子$root$。
发现，每一个节点，都能够通过一直走父亲（不管是亲生还是认领的），走到某一个点，这个点就是上节提到的原树根节点，不同于Splay的根节点。
3. 基础函数（以下基本都是经典函数）
我们需要一个函数来判断当前节点$u$是否为所属Splay的根节点：
bool isroot(int u){ return ch[fa[u]][0]!=u&&ch[fa[u]][1]!=u; }
即父亲的左右儿子都不是自己，说明此节点是Splay的根节点，它的父亲并不记录自己。
需要一个函数判断当前节点$u$是父亲节点的左儿子还是右儿子：
int who(int u){ return ch[fa[u]][1]==u; }
如果是左儿子，返回0；否则返回1。
更新Splay信息函数，作用是收集左右儿子的信息。这里以最大值举例：
void update(int u){ if(!u) return; info[u]=max(w[u],max(info[ch[u][0]],info[ch[u][1]])); }
经典的Splay翻转打标记函数reverse、单次下传函数pushdownOnce、一路下传函数pushdown、旋转函数rotate和伸展函数splay，没有什么特殊的地方：
void reverse(int u){ rev[u]^=1; swap(ch[u][0],ch[u][1]); }
//为u打上翻转标记
void pushdownOnce(int u){ if(rev[u]){ if(ch[u][0]) reverse(ch[u][0]); if(ch[u][1]) reverse(ch[u][1]); rev[u]=0; } }
//单次下传
void pushdown(int u){ if(!isroot(u)) pushdown(fa[u]); pushdownOnce(u); }
//从当前Splay的根节点一路下传到u，把一路的翻转都处理掉
void rotate(int u){ int f=fa[u],g=fa[f],c=who(u); if(!isroot(f)) ch[g][who(f)]=u; fa[u]=g; ch[f][c]=ch[u][c^1]; fa[ch[f][c]]=f; ch[u][c^1]=f; fa[f]=u; update(f); update(u); }
//将当前节点u旋转到父亲节点
void splay(int u){ pushdown(u); while(!isroot(u)){ if(!isroot(fa[u])) rotate(who(fa[u])==who(u)?fa[u]:u); rotate(u); } }
//将u旋转到当前Splay的根节点
4. 关键函数：
$access(u)$，更改函数，把$u$到LCT根节点一路变成一条重链，同时断开一路上原来的重儿子：
void access(int u){ for(int v=0;u;v=u,u=fa[u]){ splay(u); ch[u][1]=v; update(u); } }
什么意思呢？外层for循环负责迭代从$u$一直到Splay根节点的路径，同时用$v$记录是从哪里来到$u$的。
每到达一个点$u$，我们将$u$提到树根，这时$u$的右儿子就是在原本重链上$u$的重儿子。我们把它替换成过来的节点，并更新信息即可。
$makeRoot(u)$，换根操作，使$u$成为树的根节点：
void makeRoot(int u){ access(u); splay(u); reverse(u); }
换根换根，实际上影响到的是哪些因素呢？
仅仅是$u$到根节点一路上的Splay发生了父子反向，对于其它的Splay并没有影响。
于是这样调用：
- 我们把$u$到根节点一路变为重链，即把它们放到一棵Splay中；
- 将$u$旋转到Splay的根节点；
- 为$u$打上翻转标记。
这样就为$u$到根节点的信息完成了父子反向操作。
$link(a,b)$，连接操作，更改树形，连接a和b两个节点，即连接a和b所在的两棵LCT（前提是a和b不在同一棵LCT中）：
void link(int a,int b){ makeRoot(a); fa[a]=b; }
我们将$a$变为$a$的LCT的根，然后将$a$的父亲设为$b$。这样就将$a$的整棵LCT连接到了$b$所在的LCT，并且$a$和$b$在定义上会相邻。
$cut(a,b)$，切割操作，更改树形，分离a和b两个节点，即分割出两棵独立的LCT（前提是a和b在同一棵LCT中且a和b相邻）：
void cut(int a,int b){ makeRoot(a); access(b); splay(b); fa[a]=0; ch[b][0]=0; update(b); }
我们将$a$变成树根，然后将$b$到树根（也就是$a$）一路变为重链，再将$b$旋转到所在Splay的根。
由于$a$和$b$同在一棵Splay中且$a$一定是$b$的父亲，所以Splay中$b$的左儿子一定是$a$，断开即可，记得更新，因为有了父子关系变化。
$isConnect(a,b)$，实现判断a和b是否在同一棵LCT中：
bool isConnect(int a,int b){ if(a==b) return true; makeRoot(a); access(b); splay(b); return fa[a]; }
我们将$a$变成树根，然后将$b$到树根（也就是$a$）一路变为重链，再将$b$旋转到所在Splay的根。
如果$a$和$b$不在同一棵LCT中，执行$makeRoot(a)$后，$a$的父亲应该为空（$makeRoot$最后有一个$splay(u)$的操作将$u$旋转到树根）。
除非什么情况呢？除非a和b在同一棵LCT中，在$access(b)$并$splay(b)$后，$a$与$b$应该在同一棵Splay中，既然$b$为Splay根，那么$a$肯定不为Splay根，$a$一定有一个父亲存在。
至此，LCT的最常用函数已经介绍完毕，下面我们来总结一下最根本的核心思想：
可以发现$access(u)$和$splay(u)$总是配套出现，有时在前面配上$makeRoot$。这一套COMBO可以将$u$转到Splay树根，然后进行如同Splay一样的便捷操作。
比如想求$a$到$b$的点权之和，我们可以$makeRoot(a) + access(b) + splay(b)$，此时$a$和$b$一定在同一条重链、同一棵Splay中，然后我们统计Splay中$b$和$b$的左子树的点权之和就可以了。
总结
理解LCT以后就会觉得这玩意挺有意思的。一些处理信息、调用函数的思想，值得我们更多地推敲。
