常见数论函数及狄利克雷卷积与莫比乌斯反演 学习笔记

$\mathrm{常}\mathrm{见}\mathrm{数}\mathrm{论}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{及}\mathrm{狄}\mathrm{利}\mathrm{克}\mathrm{雷}\mathrm{卷}\mathrm{积}\mathrm{与}\mathrm{莫}\mathrm{比}\mathrm{乌}\mathrm{斯}\mathrm{反}\mathrm{演}\mathrm{学}\mathrm{习}\mathrm{笔}\mathrm{记}$

数论函数

数论函数指的是定义域为正整数的函数，可以视作一个数列。

积性函数与完全积性函数

在数论中，若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$，且 $f(xy)=f(x)f(y)$ 对任意互质的 $x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都成立，则 $f(n)$为 积性函数。

在数论中，若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$ 对任意的 $x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都成立，则 $f(n)$ 为 完全积性函数。

常见积性函数

• 单位函数：$\epsilon (n)=[n=1]$。（完全积性函数）
• 恒等函数：${\mathbf{id}}_k(n)=n^k$。其中 ${\mathbf{id}}_1(n)$ 通常记作 $\mathbf{id}(n)$。（完全积性函数）
• 常数函数：$\mathbf{1}(n)=1$。（完全积性函数）
• 除数函数：${\sigma }_k(n)=\sum _{d\mid n}{d}^k$。${\sigma }_0(n)$ 通常记作 $d(n)$，${\sigma }_1(n)$ 通常记作 $\sigma (n)$。
• 欧拉函数：$\phi (n)$ 表示 $\le n$ 中正整数中与 $n$ 互质的数的个数。有 $n=\sum _{d\mid n}\phi (d)$。
• 莫比乌斯函数：$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& \mathrm{\exists }d>1,d^2\mid n\\ (-1{)}^{\omega (n)}& \text{otherwise}\end{array}$。其中 $w(n)$ 表示 $n$ 的本质不同质因子个数。

狄利克雷卷积

对于两个数论函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，则它们的狄利克雷卷积结果 $h(x)$ 定义为：

$$h(x)=\sum _{d\mid x}f(d)g(\frac{x}{d})=\sum _{ab=x}f(a)g(b)$$

上式也可以表示为 $h=f\ast g$。

狄利克雷卷积有以下性质：

• 交换律：$f\ast g=g\ast f$。
• 结合律：$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$。
• 分配律：$(f+g)\ast h=(f\ast h)+(g\ast h)$。

单位函数 $\epsilon$ 为狄利克雷卷积中的单位元，即对于任何数论函数 $f$，有 $f\ast \epsilon =f$。类似地。对于任意一个满足 $f(x)\ne 0$ 的数论函数，若有另一个数论函数 $g(x)$ 满足 $f\ast g=\epsilon$，那么 $g(x)$ 便是 $f(x)$ 的逆元，且这个逆元是唯一存在的。

数论函数的积性，在狄利克雷生成函数中具有封闭性。具体地：

• 两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数

• 积性函数的逆元也是积性函数

常用狄利克雷卷积

这一章的内容比较重要，建议理解并记忆。

$\epsilon =\mu \ast \mathbf{1}$

事实上这个式子我们在莫比乌斯函数学习笔记中证明过。它是等价于 $\sum _{d\mid n}=[n=1]$ 的。

$d=\mathbf{1}\ast \mathbf{1},\sigma =\mathbf{id}\ast \mathbf{1}$

这两个卷积没有那么重要，且较容易证明。

$\mathbf{id}=\phi \ast \mathbf{1},\phi =\mu \ast \mathbf{id}$

这两个卷积比较重要。第一个式子由 $n=\sum _{d|n}\phi (d)$ 得到，对于第二个式子，考虑到 $\mu$ 是 $\mathbf{1}$ 的逆元，那么容易得到第二个式子。

莫比乌斯反演

其实会了上面那些东西的话这玩意并没有什么大用，但出于尊重还是写一下。

形式一：

$$f(n)=\sum _{d|n}g(d)⟺g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f(\frac{n}{d})$$

这个玩意其实相当于有 $f=g\ast \mathbf{1}$，要证明 $g=f\ast \mu$。那么通过 $\epsilon =\mu \ast \mathbf{1}$ 就容易证得了。

形式二：

$$f(n)=\sum _{n\mid d}g(d)⟺g(n)=\sum _{n\mid d}\mu (\frac{d}{n})f(d)$$

这个式子和形式一是类似的，于是略去证明。