Manacher 学习笔记

$\text{Manacher 学习笔记}$

一、引入

首先我们需要知道的是 $\text{Manacher}$ 是解决回文串问题的有效工具。

一个通用的问题模型是给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，统计该字符串中所有的回文子串的个数。$\text{Manacher}$ 算法可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内解决这个问题。

我们知道的是，对于任意一个回文串 $s[i,j]$，有对称中心 $\lfloor {\displaystyle \frac{i+j-1}{2}}\rfloor$。考虑到奇数和偶数长度回文串的差异，我们用两个数组 $d_1(i),d_2(i)$ 分别表示长度为奇数、偶数的回文串中心为 $i$ 时回文串的个数。

现在我们的问题就是快速求出 $d_1,d_2$ 两个数组。

二、算法

我们先考虑 $d_1$ 的求解过程，求出 $d_1$ 数组的基本思想是采用之前维护过的 $d_1$ 数组信息来更新现有的 $d_1$ 数组。为了叙述方便，下文以 $d$ 数组代指 $d_1$ 数组。

既然这样，在求 $d(i)$ 时我们需要维护 $[1,i-1]$ 范围内边界最靠右的回文串的边界 $l,r$，初始设 $l=1,r=0$。

现在考虑计算 $d(i)$ 的方式：

• 若 $i>r$，暴力匹配；
• 若 $i\le r$：

由于 $[l,r]$ 是回文串，那么 $d(i)=d(l+r-i)$，也就是将中心为 $l+r-i$ 为中心的回文串 copy 到了 $i$ 上。然而需要留意的是，我们只能保证在 $[l,r]$ 内的部分是回文串，而这个部份内回文串的最大长度显然是 $r-i+1$。

考虑复杂度分析：$r$ 是单调递增的，而暴力算法运行一次一定会使得 $r$ 增长 $1$，因此复杂度为 $O(n)$。

现在考虑 $d_2(i)$ 的求解——但其实我们有更好的方法用一套模板解决两个问题。

考虑在原字符串每个字符的两侧都插入一个其它字符，这样一来所有回文串都可以归约到奇数串的情况，例如 aba $\to$ a#b#a，abba $\to$ a#b#b#a。对于多统计的情形，容易得到关系 $d(i)=2\times d_1(i)=2\times d_2(i)+1$。

给出代码：

void manacher() {
	int l = 1, r = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int k = (i > r) ? 0 : min(d[l + r - i], r - i + 1);
		while (i + k <= n && i - k >= 1 && equ(s[i - k], s[i + k])) ++k;
		d[i] = k--;
		if (i + k > r) l = i - k, r = i + k;
	}
}

三、应用

应用典型是求最长回文子串。对于长度为奇数的回文串，最长的长度是 $2\times d_1-1=d-1$，偶数是 $2\times d_2=d-1$。于是返回 $\underset{d}{max}-1$ 即可。