CSP-S 模拟赛 29

合集 - CSP-S 模拟赛(6)

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CSP-S 模拟赛 29

T1

• $n\le 18$ 显然是状压 dp。
• 考虑设状态 $d{p}_{i,j}$ 表示状态为 $i$，最终的 $a$ 为 $j$ 时的最大代价及方案数。转移是简单的。
• 优化是观察到最终的 $a\in (max{a}_i,max{a}_i+1)$。那么这一维便可以用 $0/1$ 来设。 于是时间复杂度 $O(2^{n}n)$.

T2

• 对于网格图上统计问题，常见的想法是扫描线或者四个方向前缀和。

• simple 的想法是从每个点向四个方向做前缀积，暴力乘上逆元来统计答案。然而我们发现 $M$ 不一定是质数，也就是说逆元不一定存在。

• 考虑到只有 $2000$ 个卫星，那么容易想到离散化。于是我们离散化每一个卫星，维护到四个方向的前缀和，于是我们发现这样的维护是不需要逆元的，并且事实上被分割成了一个个的矩形。

• 那么对于询问的每一个点，我们暴力计算它到所在矩形端点的距离计入答案即可。

T3

• $O(n^2)$ 的暴力 Hash 是显然的。
• 考虑优化。考虑对于两个串 $a,b$，长度分别为 $p,q$，那么 Hash 比对的时间为 $O(min(p,q))$。
• 得到部分分的启示，我们考虑预处理一部分东西。那么这个东西就很像根号分治。
• 具体地，对于 $min(p,q)\ge \sqrt{n}$，我们预处理所有这样的二元字符串组 $(a,b)$，那么这样的字符串组会有 $n$ 个，复杂度最劣显然是长度全取到 $\sqrt{n}$，复杂度为 $O(n\sqrt{n})$，对于 $min(p,q)\le \sqrt{n}$，直接暴力比对，复杂度 $O(q\sqrt{n})$，于是总复杂度 $O((n+q)\sqrt{n})$，能过。

T4

• 抽象。
• 考虑转化所求答案：求出对于一个节点 $i$，能够连到的离他最近的点编号与他的差。如果这个值是 $p$，那么表明连边是以 $p$ 为周期进行的，于是答案就是 $p$。
• 我们猜想在一定情况下 $\mathrm{ans}=gcd(S)$。显然只有当每个点 $i=j+s_k$ 或 $i=j-s_k$ 时成立。
• 对于 $s_i\le {\displaystyle \frac{n}{2}}$，无论 $i$ 在何处均有对应的 $j$。于是对于 $s_i\le {\displaystyle \frac{n}{2}}$，当前答案 $d=gcd(s_i)$。
• 对于全部 $s_i>{\displaystyle \frac{n}{2}}$ 的情况，这些节点不会被任何点连到，于是考虑删去他们，同时改变 $n$ 和 $s$ 的取值。
• 对于 $s_i>{\displaystyle \frac{n}{2}},d+s_i\le n$ 的，它仍然可以扩展到，因此新的 $d^{\prime }=gcd(d,s_i)$。
• 对于 $s_i>{\displaystyle \frac{n}{2}},d+s_i>n$ 的，能跳的显然是前面的前 $d$ 和后 $nmodd$ 个点，更新 $n$ 和 $s$，并递归。
• 时间复杂度 $O(m{\log }^{2}n)$。