CSP-S 模拟赛 28

合集 - CSP-S 模拟赛(6)

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CSP-S 模拟赛 28

T1

• 签到题。对 $b$ 分解质因数后便容易求解。

T2

• 考虑枚举 $gcd(S)$ 的取值 $x$，则 $\mathrm{lcm}(S)=m-x$。
• 那么同时变形 $gcd$ 和 $\mathrm{lcm}$ 变为 $gcd(S)=1,\mathrm{lcm}(S)={\displaystyle \frac{m-x}{x}}$。
• 那么对于 $gcd$ 和 $\mathrm{lcm}$ 的取值，有三种情况：

$$f(x)=\sum [gcd=1,\mathrm{lcm}=x]$$

$$g(x)=\sum [gcd|x,\mathrm{lcm}=x]$$

$$h(x)=\sum [gcd|x,\mathrm{lcm}|x]$$

• $h(x)$ 是简单的。容易知道 $h(x)=\sum _{d|x}g(d)$。

• 由莫比乌斯反演，$g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f({\displaystyle \frac{n}{d}})$。

• 那么求出 $g$ 后从 $g$ 推到 $f$ 的式子是同构的。实际上这就是一个容斥的过程。

T3

• 简单题。从左往右和从右往左各做一遍 dp，采用求和优化一下就能过了，虽然理论上时间复杂度不正确。

T4

• 抽象科技题目，咕咕咕~