P4563 [JXOI2018] 守卫 题解

P4563 [JXOI2018] 守卫 题解

不愧是九条可怜的 $\text{JXOI}$，只能说确实是道好题。

假设当前我们在求 $[l,r]$，我们不难发现 $r$ 端点一定要放保镖，于是考虑 $r$ 保镖的最大监视范围 $[x,r]$。由题意得到对于 $[x,r]$ 中的每个 $p_1,p_2,\cdots ,p_k$，要求斜率 $t(p_i,r)\le t(p_{i+1},r)$，那么容易得到在 $p\in [x+1,r-1]$ 处放保镖一定不如在 $p-1$ 处放置保镖优。

考虑 $x-1$ 能被谁保护。我们将 $x-1$ 和 $r$ 连线 $l$ 发现 $x$ 在 $l$ 以上，$p\in [x+1,r-1]$ 都在 $l$ 以下，那么 $p>x$ 都无法保护 $x$。于是 $x$ 和 $x-1$ 一定有一个亭子放保镖，记这个亭子为 $q$，此时我们惊奇地发现这个子问题的答案变为了 $[l,q]$ 的答案，具有最优子结构性质。那么我们正序枚举 $r$，倒序枚举每个 $l$，容易写出区间 dp 的式子来。

题目的关键是能发现 $r$ 端点一定要放保镖的性质并加以利用。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 5005
using namespace std;
int n;
int a[N];
int ans;
int dp[N][N];
double st(int x, int y) {
	return (a[y] - a[x]) * 1.0 / (y - x);
}
int chk(int l, int x, int r) {
	return st(x, r) > st(l, r);
}
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int r = 1; r <= n; r++) {
		dp[r][r] = 1;
		ans ^= 1;
		int x = 0, sm = 1;
		for (int l = r - 1; l >= 1; l--) {
			if (x == 0 || chk(l, x, r))
				sm += min(dp[l + 1][x - 1], dp[l + 1][x]), x = l;
			dp[l][r] = sm + min(dp[l][x], dp[l][x - 1]);
			ans ^= dp[l][r];
		}
	}			
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}