关于期望 dp 的一点思考

一、前言

只是一些自己的理解，并不知正确与否。

首先期望 $dp$ 分为 伪期望 $dp$ 和真期望 $dp.$

二、伪期望 $dp$

对于伪期望 $dp$ 来说，其在定义状态之后，一般可以认为状态之间的转移是 线性 的，即每一个 $dp$ 状态转移到何处具有 唯一对应性，只不过具体的实现上经过了概率论的包装。这样的 $dp$ 的本质是概率 $dp$，套了一个计算期望的贡献，原因是概率的转移是正向的。

三、真期望 $dp$

对于真期望 $dp$ 来说，一个状态往往可以转移到 $n$ 个状态去，并不具有 唯一对应性。

3.1 树形 $dp$

因此我将真期望 $dp$ 理解为了具象的 树形 $dp$ 。

不难发现两者的转移具有相似性：若将 每一个状态具象化为树上的一个节点 $i$，那么这个状态所转移到的每一个状态分别对应 $si{z}_i$ 个子结点， 我们知道树形 $dp$ 的常见套路是在 $dfs$ 回溯的过程中统计答案，这样做的本质是 倒序地枚举树的每一层节点，只不过在期望 $dp$ 中我们的层数对应的是往往题目中出现的每一个阶段，因此我们可以用 看似是倒序线性 $dp$ 的方法真正实现了对一颗状态树的枚举，这也是一般的真期望 $dp$ 通常都可以用记忆化搜索来解决的原因。对于节点 $i$ ，通过树形 $dp$ 得到了每一个转移对象 $j$ 的贡献 $d{p}_j$，就可以采用期望的定义来进行计算 $d{p}_i$ 了。最终和树形 $dp$ 一样，根节点 $root$ 的 $dp$ 值就是答案。因此我认为将 P4316 绿豆蛙的归宿 作为真期望 $dp$ 的模板题目是十分合适的，因为这道题目展现了期望 $dp$ 的本质和一般性解法。

3.2 考虑地深一些

那我就是任性，偏偏要正序 $dp$ 怎么办?

考虑到部分树形 $dp$ 也可以按 $dfs$ 序来正序转移。考虑当树形 $dp$ 的答案统计的实质为 某一条树上最满足某种性质的链 时，我们完全可以正序枚举统计答案到每一个根节点再求出最终解。我们可以通过这种思路来正序枚举解期望 $dp.$

显然期望 $dp$ 的每个期望正好对应着状态树上每一条链的期望。 由 期望的线性性质 可以得到，最终状态的期望 $E$ 本质上是 上文所说状态树中所有叶节点的期望之和。 因此我们需要算出每一个最终状态的期望值。由公式 $E=P\times val$，我们还需要维护 根节点到达节点 $i$ 的概率 $p_i$ ，与 $va{l}_i$ 相乘即可算出期望 $E_i$ ，那么加和就能算出最终答案了。

四、推导过后的思考

推导这些东西的来源是做 SCOI2008 奖励关 时对期望 $dp$ 产生了各种各样的疑问，遂开始思考期望 $dp$ 的本质，便得到上方的拙见，个人以为大概可以解释期望 $dp$ 一些概念上的问题了。不过期望 $dp$ 的题目刷了二十余道才生出这些见解，直接反映出我刷题质量的堪忧，今后还是一定要多思考啊。