单调数据结构总结

单调数据结构是一种~~在我看来~~很神奇的数据结构，其中包括单调栈和单调队列，但其实它们的思想几乎是完全一致的，可以说单调队列就是单调栈的升级版本。

我们知道单调队列是可以由两端出队的，也就是双端队列 std::deque ；而单调栈就是普通的栈，但是 std::stack 的底层就是由 std::deque 来实现的，因此得出结论，单调队列就是单调栈的升级版本，因此，让我们先来讨论关于单调栈的事情。

1. 单调栈

单调栈的核心只有一句话：排除所有显然不可能的决策。

例题：单调栈模板题目

题意：求一个序列中每个数右边第一个大于它的数。

我们建立一个栈，依次让每个数入栈。由于记录的是每一个数右边的第一个大于它的数字，因此需要采用倒序遍历每一个数。

单调栈的核心：当每一次要将一个数入栈时，显然，当前在栈内的元素全部在这个数的右端。考虑到我们只记录在它右边第一个大于它的数，因此不断循环判断栈顶元素，如果栈顶元素还没有当前所求的数大，显然它绝对不会成为答案，因此我们就可以将它直接弹出。显然地，当遇到栈顶元素已经大于当前判断的数了，又结合到我们的入栈次序使得栈里的元素的位置绝对递增，再向后遍历到的不会成为最优解，那当前的数显然就成为了第一个大于所判断的数字的数，记录答案。

形象地描绘步骤：

记当前遍历到的数是 $k$ ，我们可以循环判断如果当前的栈顶元素 $t$ ，如果 $t$ $\leq$ $k$ ，则就弹出 $t$ ，直到 $t$ $>$ $k$ 结束循环。循环结束时，栈顶的元素就是所求的答案，再将需要入栈的数字放入栈中。

下来给出参考程序

#include<stdio.h>
#define maxn 100005
int stk[maxn], a[maxn];
int ans[maxn];
int n, top;
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    stk[++top] = n + 1;//要先压入一个元素，防止爆栈
    for(int i = n; i; i--){//倒序遍历
        while(top && a[stk[top]] <= a[i])//栈中还有元素并且栈顶元素不大于当前元素
            top--;//出栈
        if(top)//如果栈里还有元素
            ans[i] = stk[top];//记录答案；由于一开始就是倒序遍历，因此越左边的数越晚入栈，因此栈顶就是答案
        stk[++top] = i; //将当前元素入栈
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d\n", ans[i]);//输出
    return 0;
}

分析时间复杂度：

最外层的遍历是 $O (n)$ 的，每个元素最多入栈、出栈一次，因此复杂度还是 $O (n)$ 的，综上所述，单调栈的时间复杂度是 $O (n)$ ，大大优于能够解决同样问题的数据结构。

2. 单调队列

单调队列其实就是单调栈的升级版本。回顾单调栈的例题，我们所求的是每个数在序列当中在它右边最大的数，单调队列不过是添加了一个限制——所求的答案和原数距离不超过k。因此单调队列的思想便显然了——在遍历出队之后检查队首与队尾的距离，超过则从队首出队即可。其它在单调栈的基础上不需要做任何改动。

上代码——

int head = 1, tail = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        while(head <= tail && a[q[tail]] > a[i])
            tail--;//这一步是不满足可行性时的出队
        while(head <= tail && q[head] + k <= i)//相对于单调栈只多了这一步
            head++;//这一步是不满足距离要求的出队
        q[++tail] = i;//这一步是遍历时的入队
        ans[i] = q[head];
    }