BZOJ2720题解

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$\text{是概率与期望好题.}$

预备知识：$longdouble$ 相关。

我们知道，用sizeof(long double)输出long double的内存是$16$字节（不同计算机会略有不同），但是请编译下面这段代码：

std::cout << std::numeric_limits<long double>::max() << "\n";

不同电脑给出的结果会略有差异，我电脑里的输出是$1.18973e+4932$，也就是说long double最大可以存到${10}^{4932}$左右。当然，存到这么大是因为浮点数的存储机制是粗略地存储，因此不要想着用它当高精度使用。本题中，我们需要一些较大值的存储，因此需要long double损失一些精度地使用。

求期望的方法一般是$dp$，但这种求总的期望的题目貌似无法$dp$.

我们知道，期望是线性的，因此要求所有学生的期望，我们可以分别求出每位学生的期望，再一一相加.

观察到数据范围 $n\le 300$，显然可以接受$O(n^2)$甚至是$O(n^3)$的复杂度，因此考虑暴力枚举。

由于枚举到一个学生时，不论在哪个位置上放，答案都应当是相等的，因此只需要依次枚举每一个学生 $i$ 和他的视野范围 $k$，计算该种情况下的概率 $p$ 再与视野范围 $k$ 相乘，得到该种情况的答案再依次累加。

$ans=p\times$该情况的值$m$，容易知道$m=k\times (n-k)$。此处的$k$就是视野范围，$n-k$是在队伍的$n$个位置，只有$n-k$个可以在视野为$k$时可以站该学生。（不然视野已经遍及不到了qwq）

现在考虑求概率 $p$ 。我们可以预处理出严格小于每个学生身高 $h_i$的学生个数$num$。先考虑可行情况。考虑到学生视野为 $k$ 即意味着该学生前方 $k-1$个学生的个数严格比他小，因此我们要用这$a-1$个学生填满$k-1$个空当，贡献是$A_{a_i}^{k-1}$。考虑到该学生正前方第 $k$ 个身高一定要不严格小于该学生(不然会重复计算)，因此需要该位置填$n-a[i]-1$个身高高于该学生的学生中的某一个。因此可行情况总数是$A_{a_i}^{k-1}\times (n-a[i]-1)$。

总情况呢？显然是在$n$个数中任选来填刚才所说的$k+1$个空当，即$A_n^{k+1}$。

这里的$A$显然很大，要用前文说的long double来存，$A$最大值约是$300!$即${10}^{617}$，完全存的下。

然后就是注意一些边界问题，当学生正好在第$k$个时，不需要前面人再比他高了（有老师）；当学生正好在最后一个时，$A_{a_i}^{k-1}\times (n-a[i]-1)$显然炸，这些细节需要调整，具体见代码。

时间复杂度$O(n^2)$，$O(n)$的推式子不想推了qwq

#include <bits/stdc++.h>
#define N 305
using namespace std;
long double A[N][N];
int n;
int a[N];
int b[N];
long double ans;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i];
    }
    sort(b + 1, b + 1 + n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = lower_bound(b + 1, b + 1 + n, a[i]) - b - 1;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        A[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            A[i][j] = A[i][j - 1] * (i - j + 1);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            if (k != n)
                ans += k * (n - k) * A[a[i]][k - 1] * (n - a[i] - 1) / A[n][k + 1];
            ans += k * A[a[i]][k - 1] / A[n][k];
        }
    }
    printf("%.2lf\n",(double) ans);
    return 0;
}