强化学习-学习笔记12 | Dueling Network

这是价值学习高级技巧第三篇，前两篇主要是针对 TD 算法的改进，而Dueling Network 对 DQN 的结构进行改进，能够大幅度改进DQN的效果。

Dueling Network 的应用范围不限于 DQN，本文只介绍其在 DQN上的应用。

12. Dueling Network

12.1 优势函数

Advantage Function.

回顾一些基础概念：

折扣回报：

$U_t = R_t + \gamma \cdot R_{t+1} + \gamma^2R+...$

动作价值函数：

$Q_\pi(s_t,a_t)=\mathbb{E}[U_t|S_t=s_t,A_t=a_t]$

消去了未来的状态和动作，只依赖于当前动作和状态，以及策略函数 $\pi$ 。

状态价值函数：

$V_\pi(s_t)=\mathbb{E}[Q_\pi(s_t,A)]$

只跟策略函数 $\pi$ 和当前状态 $s_t$ 有关。

最优动作价值函数

$Q^*(s,a)=\mathop{max}\limits_{\pi}Q_\pi(s,a)$

只依赖于 s,a，不依赖策略函数。

最优状态价值函数

$V^*(s)=\mathop{max}\limits_{a}V_\pi(S)$

只依赖 S。

下面就是这次的主角之一：

Optimal Advantage function 优势函数：

$A^*(s,a)=Q^*(s,a)-V^*(s)$

V* 作为 baseline ，优势函数的意思是动作 a 相对 V* 的优势，A*越好，那么优势就越大。

下面介绍一个优势函数有关的定理：

定理一： $V^*(s)=\mathop{max}\limits_a Q^*(s,a)$

这一点从上面的回顾不难看出，求得最优的路径不同，但是相等。

上面提到了优势函数的定义： $A^*(s,a)=Q^*(s,a)-V^*(s)$

同时对左右求最大值： $\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)=\mathop{max} \limits_{a}Q^*(s,a)-V^*(s)$ ，而等式右侧正是上面定理，所以右侧==0；因此优势函数关于a的最大值=0，即：

$\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)=0$

我们把这个 0 值式子加到定义上，进行简单变形：

定理二： $Q^*(s,a)=V^*(s)+A^*(s,a)-\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)$

Dueling Network 就是由定理二得到的。

12.2 Dueling Network 原理

此前 DQN 用 $Q(s,a;w)$ 来近似 $D^*(s,a)$ ，结构如下：

而 Dueling Network 对 DQN 的结构改进原理是：

我们对于DQN的改进思路就是基于上面的定理2： $Q^*(s,a)=V^*(s)+A^*(s,a)-\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)$
- 分别用神经网络 V 和 A 近似 V-star 和 A-star
- 即： $Q(s,a;w^A,w^V)=V(s;w^V)+A(s,a;w^A)-\mathop{max}\limits_{a}A(s,a;w^A)$
- 这样也完成了对于 Q-star 的近似，与 DQN 的功能相同。
首先需要用一个神经网络 $V(s;w^V)$ 来近似 $V^*(s)$ ：

注意这里的输出是一个实数，是对状态的打分，而非向量；

用另一个神经网络 $A(s,a;w^A)$ 对 $A^*(s,a)$ 进行近似:

这个网络和上面的网络 $V$ 结构有一定的相像，可以共享卷积层的参数;

后续为了方便，令 $w=(w^A,w^V)$ ，即：

Q (s, a; w) = V (s; w^{V}) + A (s, a; w^{A}) - \underset{a}{m a x} A (s, a; w^{A})

$Q(s,a;w)=V(s;w^V)+A(s,a;w^A)-\mathop{max}\limits_{a}A(s,a;w^A)$

现在左侧与 DQN 的表示就一致了。下面搭建Dueling Network，就是上面 V 和 A 的拼接与计算：

输入状态 s，V 和 A 共享一些卷积层，得到特征向量；
分别通过不同的全连接层，A输出向量，V输出实数；
通过上面的式子运算输出最终结果，是对所有动作的打分；

可见Dueling Network 的输入和输出和 DQN 完全一样，功能也完全一样；但是内部的结构不同，Dueling Network 的结构更好，所以表现要比 DQN好；

注意，Dueling Network 和 DQN 都是对最优动作价值函数的近似。

12.3 训练 Dueling Network

接下来训练参数 $w=(w^A,w^v)$ ，采用与 DQN 相同的思路，也就是采用 TD算法训练 Dueling Network。

之前介绍的 TD算法的三种优化方法：

经验回放 / 优先经验回放
Double DQN
M-step TD target

都可以用在训练 Dueling Network 上。

12.4 数学原理与不唯一性

之前推导 Dueling Network 原理的时候，有如下两个式子：

$Q^*(s,a)=V^*(s)+A^*(s,a)$
$Q^*(s,a)=V^*(s)+A^*(s,a)-\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)$

我们为什么一定要用等式 2 而不是等式 1 呢？也就是为什么要加上一个值为 0 的 $\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)$ ？

这是因为等式1 有一个问题。
即我们无法通过学习 Q-star 来唯一确定 V-star 和 A-star，即对于求得的 Q-star 值，可以分解成无数组 V-star 和 A-star。
$Q(s,a;w^A,w^V)=V(s;w^V)+A(s,a;w^A)-\mathop{max}\limits_{a}A(s,a;w^A)$
我们是对左侧Q 来训练整个 Dueling Network 的。如果 V 网络向上波动和 A 网络向下波动幅度相同，那么 Dueling Network 的输出完全相同，但是V-A两个网络都发生了波动，训练不好。
而加上最大化这一项就能避免不唯一性；即如果 V-star 向上波动10，A-star 向下波动10，那么整个式子的值会发生改变

因为max项随着A-star 的变化也减少了10，总体上升了10

在上面的数学推导中，我们使用的是 $\max \limits_{a}A(s,a;w^A)$ 来近似最大项 $\max\limits_{a}A(s,a)$ ，而在实际应用中，用 $\mathop{mean}\limits_{a}A(S,a;w^A)$ 来近似效果更好；这种替换没有理论依据，但是实际效果好。