强化学习-学习笔记11 | 解决高估问题

在实际应用中DQN会引起高估，进而影响动作的正确选择。本文介绍的高估问题解决办法为：Target Network & Double DQN.

11. Target Network & Double DQN

自举通俗来说就是自己把自己举起来，这在现实物理学中是很荒唐的，但在统计学和强化学习中是可以做到自举的。

在强化学习中，自举的意思是用一个估算去更新同类的估算，即自己把自己举起来。

之前我们提到：

用 transition $(s_t,a_t,r_t,s_{t+1})$ 更新一次 w。
TD target: $y_t = {r_t} + \gamma \cdot \mathop{max}\limits_{a} Q({s_{t+1}},{a};w)$
TD error: $\delta_t = Q({s_t},{a_t};w) - y_t$
梯度下降，更新参数: $w \leftarrow w -\alpha \cdot \delta_t \cdot \frac{\partial Q({s_t},{a_t};w)}{\partial w}$

我们注意一下TD target， $y_t$ 中含有部分真实也含有部分DQN 在 t+1 时刻的估计。而梯度下降中的 $\delta_t$ 中含有 $y_t$ 。

这说明我们为了更新 t 时刻的估计，而用到了 t+1 时刻的预测。

这就是一个估计值更新其本身，也就是自己把自己举起来，bootstraping.

用TD算法训练DQN，会导致DQN往往高估真实的动作价值；下面来介绍一下高估问题产生的原因。

在这里插入图片描述

举个例子来说明为什么使用最大化会产生高估：

假设我们观测到了任意 n 个实数 $x_1,x_2,...,x_n$ ；向其中加入均值是 0 的噪声，得到 $Q_1,Q_2,...,Q_n$ ；

加入噪声这件事会造成：

这些结论可以自己带入数字验证，都有相关的定理支撑。

简单的解释是，加入噪声从信号图的角度来讲，让上下限更宽，所以有以上结论。

下面来看看这个原理投射在TD 算法上的：

真实的动作价值为（虽然我们不知道，但是其存在）： $x(a_1),...,x(a_n)$
我们用DQN估算真实的动作价值，噪声就是由 DQN 产生的： $Q(s,a_1;w),...,Q(s,a_n;w)$ ；
如果 DQN 对于真实价值的估计是无偏的，那么误差就相当于上文的均值为0的噪声 ；

$\mathop{mean}\limits_{a} (x(a)) = \mathop{mean}\limits_{a} (Q(s,a;w))$
而根据上面的举例， $\mathop{max} \limits_{a} Q(s,a;w)\geq \mathop{max} \limits_{a}(x(a))$ ；意思就是，DQN的预测q: $\mathop{max} \limits_{a} Q(s,a;w)$ ，是对真实情况的高估。
那么，根据 $y_t = {r_t} + \gamma \cdot q_{t+1}$ ， $y_t$ 较真实情况也高估了。
TD 算法本身的思想就是，让预测接近 TD target，更新之后的 DQN 预测也会高估。

TD target 用到了 t+1 时刻的估计： $q_{t+1}=\mathop{max}\limits_{a} Q^*({s_{t+1}},{a};w)$ ；
而使用 TD target 在 t+1 时刻的估计 $q_{t+1}$ 来更新 t 时刻的估计，用DQN 来更新 DQN 自己，这样 bootstrapping 会导致高估更严重：
- 向高估方向连续进行了两次运算，
  
  $y_t = {r_t} + \gamma \cdot \mathop{max}\limits_{a} Q({s_{t+1}},{a};w)$ ，分别是：
  1. Q 处就是 DQN 对 t+1 时刻的高估
  2. 在计算 $y_t$ 的时候，最大化又导致了高估
  3. 两次高估是同向的；
  4. 通过TD 算法将这种高估传播回 DQN，DQN的高估更严重了
  5. 循环往复，正反馈

回顾 DQN / 价值学习的基本思想：在当前状态 $s_t$ 的情况下，通过DQN输出各个动作的分数，从中挑选分数相对最高的动作执行。

如果高估这个现象对于所有动作是均匀的，那么不影响本该被选中的动作被选中。所以高估本身没有问题，有害的是不均匀的高估。

实际上 DQN 的高估就是非均匀的：

介绍高估问题的两种解决方案：

第一种是避免 Bootstrapping ，即不要用 DQN 自己的 TD target 跟新DQN，而是使用另一个神经网络 Target Network。
另一种思路是用Double DQN，用来缓解最大化造成的高估；虽然也使用 Target Network，但用法有所不同。

这里我们引入另一个神经网络 Target Network $Q(s,a,w^-)$ ，TN 的结构与 DQN 一样，但是参数 $w$ 不同。另外两者的用途也不同，DQN用来收集 transitions，控制 agent 运动，而 TN 只用来 计算 TD target。

将 TN 用在 TD 算法上：

用 Target Network 更新 TD Target： $y_t = r_t + \gamma\cdot \ \mathop{max}\limits_{a} Q(s_{t+1},a;w^-)$
DQN 计算TD error： $\delta_t = Q({s_t},{a_t};w) - y_t$
梯度下降更新参数： $w \leftarrow w -\alpha \cdot \delta_t \cdot \frac{\partial Q({s_t},{a_t};w)}{\partial w}$

注意这里更新的是 DQN 的 w，没有更新 TN 的 $w^-$
$w^-$ 每隔一段时间更新，更新方式有很多种：
- 直接: $w^-\leftarrow w$
- 加权平均： $w^-\leftarrow \tau\cdot w + (1-\tau)\cdot w^-$

由于 TN 还是需要 DQN 的参数，不是完全独立，所以不能完全避免Bootstrapping.

原始算法：

计算TD target 的第一步是选择： $a^*=\mathop{argmax}\limits_{a} Q(s_{t+1},a;w)$ ，这一步是使用 DQN自己；
计算 $y_t = {r_t} + \gamma \cdot \mathop{max}\limits_{a} Q({s_{t+1}},{a^*};w)$
这种算法最差

使用 TN：

计算TD target 的第一步是选择： $a^*=\mathop{argmax}\limits_{a} Q(s_{t+1},a;w^-)$ ，这一步是使用 TN；
计算 $y_t = {r_t} + \gamma \cdot Q({s_{t+1}},{a^*};w^-)$
较于第一种较好，但仍存在高估；