强化学习-学习笔记4 | Actor-Critic

Actor-Critic 是价值学习和策略学习的结合。Actor 是策略网络，用来控制agent运动，可以看做是运动员。Critic 是价值网络，用来给动作打分，像是裁判。

4. Actor-Critic

4.1 价值网络与策略网络构建

a. 原理介绍

状态价值函数：

$V_\pi(s)=\sum_{{a}}\pi({a}|{s})\cdot Q_\pi({s},{a})$ (离散情况，如果是连续的需要换成定积分)

V 是动作价值函数 $Q_\pi$ 的期望， $\pi({s}|{a})$ 策略函数控制 agent 做运动， $Q_\pi({s},{a})$ 价值函数评价动作好坏。但是上述这两个函数我们都不知道，但是可以分别用一个神经网络来近似这两个函数，然后用Actor-Critic方法来同时学习这两个网络。

策略网络(actor)：用网络 $\pi({s}|{a};\theta)$ 来近似 $\pi({s}|{a})$ ， $\theta$ 是网络参数

价值网络(critic)：用网络 $q({s},{a};w)$ 来近似 $Q_\pi({s},{a})$ ， $w$ 是网络参数

actor 是一个体操运动员，可以自己做动作，而 agent 想要做的更好，但是不知道怎么改进，这就需要裁判给她打分，这样运动员就知道什么样动作的分数高，什么样动作的分数低，这样就能改进自己，让分数越来越高。

这样： $V_\pi({s})=\sum_{{a}}\pi({a}|{s})\cdot Q_\pi({s},{a})\approx\sum_a\pi(a|s;\theta)\cdot q(s,a;w)$ $

b. Actor 搭建

策略网络。

输入：状态 s
输出：可能的动作概率分布
$\mathcal{A}$ 是动作集，如 $\mathcal{A}$ =
$\sum_{a\in\mathcal{A}}\pi(a|s,\theta)=1$

卷积层 Conv 把 state 变成一个特征向量 feature ，用一个或多个全连接层 Dense 把特征向量映射为紫色，归一化处理后得到每个动作的概率。

c. Critic搭建

输入：有两个，状态 s 和动作 a

输出：近似的动作价值函数(scalar)

如果动作是离散的，可以用 one-hot coding 来表示，比如向左为[1,0,0]，向右为[0,1,0] ······ 分别用卷积层与全连接层从输入中提取特征，得到两个特征向量，然后把这两个特征向量拼接起来，得到一个更高的特征向量，最后用一个全连接层输出一个实数，这个实数就是裁判给运动员打的分数。这个动作说明，处在状态 s 的情况下，做出动作 a 是好还是坏。这个价值网络可以与策略网络共享卷积层参数，也可以跟策略网络完全独立。

4.2 Actor-Critic Method

同时训练策略网络与动作网络就称为 Actor-Critic Method。

定义：使用神经网络来近似两个价值函数

训练：更新参数 $\theta、w$

更新策略网络 $\pi({s}|{a};\theta)$ 是为了让 $V({s};\theta,w)$ 的值增加
- 监督信号仅由价值网络提供
- 运动员actor 根据裁判critic 的打分来不断提高自己的水平
更新价值网络 $q({s},{a};w)$ 是为了让打分更精准
- 监督信号仅来自环境的奖励
- 一开始裁判是随机打分，但是会根据环境给的奖励提高打分水平，使其接近真实打分。

步骤总结：

观测状态 $s_t$
$s_t$ 作为输入，根据策略网络 $\pi({\cdot}|{s_t};\theta_t)$ 随机采样一个动作 $a_t$
实施动作 $a_t$ 并观测新状态 $s_{t+1}$ 以及奖励 $r_t$
用奖励 $r_t$ 通过 TD 算法 在价值网络中更新 w，让裁判变得更准确
使用 策略梯度算法 在策略网络中更新 $\theta$ ，让运动员技术更好

a. TD 更新价值网络

用价值网络 Q 给动作 $a_t、a_{t+1}$ 打分，即计算 $q({s_t}, {a_t} ;w_t)$ 与 $q({s_{t+1}},{a_{t+1}};w_t)$
计算TD target： $y_t = {r_t} + \gamma \cdot q({s_{t+1}},{a_{t+1}};w_t)$ ，

比对上一篇笔记中的策略学习，需要用蒙特卡洛来近似 $q({s_t},{a_t} ;w_t)$ ，而使用价值网络来近似更真实一些。
损失函数是预测值与部分真实值之间的差。

Loss值: $L(w)=\frac{1}{2}[q({s_t},{a_t};w)-y_t]^2$
梯度下降： $W_{t+1} = w_t -\alpha \cdot \frac{\partial L(w)}{\partial w}|w=w_t$

b. 策略梯度更新策略网络

状态价值函数 V 相当于运动员所有动作的平均分：

$V({s};\theta,w)=\sum_a\pi({s}|{a};\theta)\cdot q({s},{a};w)$

策略梯度：函数 $V({s};\theta,w)$ 关于参数 $\theta$ 的导数

$g({a},\theta)=\frac{\partial log \pi({a}|{s};\theta)}{\partial \theta} \cdot q({s},{a};w)$ ,这里 q 相当于裁判的打分
$\frac{\partial V(s;\theta;w_t)}{\partial \theta} = \mathbb{E}_{A}[g({A},\theta)]$ 策略梯度相当于对函数 g 求期望，把 A 给消掉，但是很难求期望，用蒙特卡洛近似取样求就行了。

算法：

根据策略网络随机抽样得到动作 a ： ${a} \sim \pi(\cdot|{s_t};\theta_t)$ 。

对于 $\pi$ 随机抽样保证 $g(a,\theta)$ 是无偏估计

有了随机梯度 g，可以做一次梯度上升： $\theta_{t+1} = \theta_t + \beta \cdot g({a},\theta_t)$ ，此处 $\beta$ 是学习率。

c. 过程梳理

下面我们以运动员和裁判的例子梳理一下过程：

首先，运动员（左侧的策略网络）观测当前状态 s ，控制 agent 做出动作 a；运动员想要进步，但它不知道怎样变得更好（或者没有评判标准），因此引入裁判来给予运动员评价：

运动员做出动作后，裁判员（价值网络）会根据 a 和 s 对运动员（策略网络）打一个分 q，这样运动员根据 q 来改进自己：

运动员的“技术”指的是策略网络中的参数，我们此前认定参数越好，我们的效果就越好。在这个模型中，运动员拿到 s、q 以及 a来计算策略梯度，通过梯度上升来更新参数。通过改进 “技术”，运动员的平均分（就是value q）会越来越高。

但值得注意的是：至此，运动员一直是在裁判的评判下进行的，他的标准 q 是裁判给的。运动员的平均分 q 越高也不能说明真实水平的上升。我们还需要提升裁判的水平。

增加一个想法：我觉得 actor-critic 的思想是两部分，一是让评判标准更接近上帝的想法，二是在给定评判标准下让执行效果拿到更大的分数。

对于价值网络/裁判来说初始的打分是随机的。裁判要靠奖励r 来提高打分的水平，这里奖励r 就相当于上帝的判断。价值网络根据 a、s、r 来给出分数 q ，通过相邻两次的分数 $q_t、q_{t+1}$ 以及 $r_t$ ，使用 TD 算法来更新参数，提高效果

d. 算法总结

下面稍微正式一点的总结一下：

观测旧状态 $s_t$ ，根据策略网络 $\pi({\cdot}|{s_t};\theta_t)$ 随机采样一个动作 $a_t$
agent 执行动作 $a_t$ ；环境会告诉我们新的状态 $s_{t+1}$ 和奖励 $r_t$
拿新的状态 $s_{t+1}$ 作为输入，用策略网络 $\pi$ 计算出新的概率并随机采样新的动作： ${\tilde{a}_{t+1}} \sim \pi({\cdot}|{s_{t+1}};\theta_t)$ ，这个动作只是假想的动作，agent不会执行，只是拿来算下 Q 值。
接下来算两次价值网络的输出： $q_t=q({s_t},{a_t};w_t)和q_{t+1}=q({s_{t+1}},{\tilde{a}_{t+1}};w_t)$ ， ${\tilde{a}_{t+1}}$ 用完就丢掉了，并不会真正执行；
计算TD error： $\delta_t = {q_t}-\underbrace{({r_t}+\gamma \cdot {q_{t+1}})}_{TD \\\ target}$
对价值网络求导： $d_{w,t} = \frac{\partial q({s_t},{a_t};w)}{\partial w}|w=w_t$

这一步 torch 和 tensenflow 都可以自动求导。
TD算法更新价值网络，让裁判打分更精准： $w_{t+1}=w_t - \alpha \cdot \delta_t\cdot d_{w,t}$
对策略网络 $\pi$ 求导： $d_{\theta,t}=\frac{\partial log \pi({a_t}|{s_t},\theta)}{\partial \theta}|\theta=\theta_t$

同理，可以自动求导
用梯度上升来更新策略网络，让运动员平均成绩更高： $\theta_{t+1} = \theta_t + \beta \cdot {q_t} \cdot d_{\theta,t}$ ，这里 ${q_t} \cdot d_{\theta,t}$ 是策略梯度的蒙特卡洛近似。

每一轮迭代做以上9个步骤，且制作一次动作，观测一次奖励，更新一次神经网络参数。

根据策略梯度算法推导，算法第 9 步用到了 ${q_t}$ ，它是裁判给动作打的分数，书和论文通常拿 ${\delta_t}$ 来替代 ${q_t}$ 。 ${q_t}$ 是标准算法， ${\delta_t}$ 是Policy Gradient With Baseline(效果更好)，都是对的，算出来期望也相等。

Baseline是什么？接近 $q_t$ 的数都可以作为 Baseline，但不能是 $a_t$ 的函数。

至于为什么baseline效果更好，因为可以更好的计算方差，更快的收敛。

这里的等价后面再讨论。这里先理解。

4.3 总结

我们的目标是：状态价值函数： $V_\pi({s})=\sum_{{a}}\pi({a}|{s})\cdot Q_\pi({s},{a})$ ，越大越好

但是直接学 $\pi$ 函数不容易，用神经网络-策略网络 $\pi({s}|{a};\theta)$ 来近似
计算策略梯度的时候有个困难就是不知道动作价值函数 $Q_\pi$ ，所以要用神经网络-价值网络 $q({s},{a};w)$ 来近似。

在训练时：

agent由 策略网络(actor) 给出动作 $a_t \sim \pi(\cdot|{s_t};\theta)$
价值网络 q 辅助训练 $\pi$ ，给出评分

训练后：

还是由策略网络给出动作 $a_t \sim \pi(\cdot|{s_t};\theta)$
价值网络 q 不再使用

如何训练：

用策略梯度来更新策略网络：

尽可能提升状态价值： $V_\pi({s})=\sum_a\pi(a|s;\theta)\cdot q(s,a;w)$
计算策略梯度，用蒙特卡洛算： $\frac{\partial V(s;\theta;w_t)}{\partial \theta} = \mathbb{E}_{A}[\frac{\partial \\\ log \\\ \pi({a}|{s};\theta)}{\partial \theta} \cdot q({s},{a};w)]$
执行梯度上升。

TD 算法更新价值网络

$q_t = q(s_t,a_t;w)$ 是价值网络是对期望回报的估计；
TD target： $y_t = r_t + \gamma \cdot \mathop{max}\limits_{a} q(s_{t+1},a_{t+1};w)$ ， $y_t$ 也是价值网络是对期望回报的估计，不过它用到了真实奖励，因此更靠谱一点，所以将其作为 target，相当于机器学习中的标签。
把 $q_t与y_t$ 差值平方作为损失函数计算梯度：

$\frac{\partial(q_t-y_t)^2/2}{\partial w} = (q_t-y_t)\cdot\frac{\partial q(s_t,a_t;w)}{\partial w}$
梯度下降，缩小 $q_t与y_t$ 差距。