强化学习-学习笔记1 | 基础概念

1. 基本概念

1.1 概率论的基础知识

a. 随机变量

概念：是一个未知的量，值是由随机事件结果来决定的。

  • 使用大写 X 来表示随机变量

    如在抛硬币之前我是不知道硬币结果是什么，但是我知道事件的概率

  • 使用小写 x 来表示随机变量 X 的观测值，只是表示一个数，没有随机性，如下面观测到三次抛硬币的结果

    观测值：当随机事件结束，会表征出一个结果，比如硬币落地后是正 / 反面朝上

    • x1 = 0
    • x2 = 1
    • x3 = 1

b. 概率密度函数

Probability Density Function，PDF.

意义：随机变量再某个确定的取值点附近的可能性。

举例理解：

连续分布：

如高斯分布这个连续分布

\[p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp({-\frac{x-\mu}{2\sigma^2}}) \]

μ 为均值，σ 为标准差。

横轴是随机变量 X 取值，纵轴是概率密度，曲线是高斯分布概率密度函数P(X)，说明在原点附近概率取值比较大，在远离原点附近概率取值比较小

离散分布：

对于离散随机变量：X∈1,3,7

则对应的 PDF 为:

\[p(1)=0.2, p(3) = 0.5, p(7)=0.3 \]

性质：

  • 随机变量 X 作用域定义为花体 \(\mathcal{X}\)

  • 如果 X 是连续的变量分布，则可对概率密度函数做定积分，值为1。

    \[\int_{\mathcal{X}}p(x)dx=1 \]

  • 如果 X 是离散的变量分布，则可对 p(x) 做一个加和，值为1。

    \[\sum_{x\in \mathcal{X}}p(x) = 1 \]

c. 期望

  • 对于作用域 \(\mathcal{X}\) 中的随机变量 X

  • 对于连续分布，函数 f(x) 的期望为：

    \[\mathbb{E}[f(x)]=\int_{\mathcal{X}}p(x) \cdot f(x) dx \]

  • 对于离散分布，函数$$f(x)$$的期望为：

    \[\mathbb{E}[f(x)]=\sum_{x\in \mathcal{X}}p(x)\cdot f(x) \]

    p(x) 是概率密度函数

d. 随机抽样

Random Sampling.

假设有10个球，2红，5绿，3蓝，随机抽一个球，会抽到哪个球？

在抽之前，抽到球的颜色就是个随机变量$$X$$，有三种可能取值红\绿\蓝。抽出一个球，是红色，这时候就有了一个观测值 x 。上述过程就叫随机抽样

换一个说法：

箱子里有很多个球，也不知道有多少个。做随机抽样，抽到红色球概率是0.2，绿色球概率是0.5，蓝色球概率是0.3。抽一个球，记录颜色，然后放回去摇匀，重复一百次，大概会有20个是红色，50个是绿色，蓝色有30个。这样就有统计意义。

模拟一下过程：

from numpy.random import choice
# choice函数用于抽样
samples = choice(['R','G','B'], size = 100, p = [0.2, 0.5, 0.3])
print(samples)

# 输出为

['G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'G' 'G' 'R' 'B' 'G' 'R' 'B' 'G' 'G' 'G' 'B' 'B' 'G'
 'G' 'G' 'R' 'R' 'R' 'G' 'B' 'G' 'R' 'B' 'R' 'G' 'R' 'G' 'B' 'B' 'G' 'G'
 'B' 'R' 'R' 'G' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'B' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'B' 'R' 'R'
 'G' 'G' 'B' 'B' 'G' 'G' 'B' 'B' 'R' 'G' 'G' 'G' 'B' 'B' 'G' 'G' 'B' 'G'
 'G' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'R' 'B' 'G' 'G' 'G' 'B' 'G' 'R' 'B' 'R' 'B' 'G'
 'G' 'B' 'G' 'R' 'G' 'G' 'G' 'G' 'G' 'G']

1.2 强化学习术语 / Terminologies

a. state与action

假设在玩超级玛丽

状态state $$s$$ 可以表示为当前游戏这一帧的画面

观测到状态后可以做出相应动作action $$ a \in {{left, right, up} }$$

这个例子中马里奥被称为agent，若在自动驾驶中，汽车就被称为agent。动作谁做的就被称为agent。

b. 策略policy

$policy \space \pi \(，指根据观测到的状态，然后做出决策，来控制 agent 运动。\)\(\pi\)$是一个概率密度函数。

  • 数学定义：\(\pi :(s,a) \mapsto [0,1]:\)\(\pi(a|s) = \mathbb{P}(A=a|S=s)\)

  • 意思给定状态 \(s\)，做出动作 \(a\) 的概率密度

  • 比如给定一个马里奥的运行状态图

    \(\pi(left|s) =0.2\)向左概率是0.2

    \(\pi(right|s)=0.1\)向右概率是0.1

    \(\pi(up|s)=0.7\)向上概率是0.7

  • 如果让策略函数自动来操作，它就会做一个随机抽样，0.2的概率向左，0.1的概率向右，0.5的概率向上。

  • 强化学习就是学习这个策略函数。

  • 给定观测到的状态state \(S=s\)，agent的action \(A\)可以是随机的(最好是随机)

c. 奖励reward

agent做出一个动作，游戏就会给一个奖励，奖励通常需要自己来定义。奖励定义好坏非常影响强化学习结果。

例如在马里奥例子中：

  • 马里奥吃到一个金币：\(R=+1\)。
  • 赢了这场游戏：\(R=+10000\)。
  • 碰到敌人 goomba，game over：\(R=-10000\)。
  • 啥也没发生：\(R=0\)。

强化学习目标就是奖励获得的总额尽量要高。

d. 状态转移 state transition

当前状态下，马里奥做一个动作，游戏就会给出一个新的状态。比如马里奥跳一下，屏幕当前帧就不一样了，也就是状态变了。这个过程就叫状态转移。

  • 状态转移可以确定的也可以是随机的。

  • 状态转移的随机性来自于环境，这里环境就是游戏的程序，程序决定下一个状态是什么。

  • 状态转移函数：\(p(s'|s,a)=\mathbb{P}(S'=s'|(S=s,A=a))\)

    意为观测到当前状态 \(s\) 与动作 \(a\) ，\(p\) 函数输出状态 \(s'\) 的概率。

    如果马里奥向上跳后，goomba向左和向右的概率分别是0.8和0.2，这个状态转移函数只有环境知道，玩家是不知道的。

e. 交互

agent environment interaction.

  1. 环境告诉Agent一个状态\(s_t\)
  2. agent看到状态$$s_t$$之后，做出一个动作\(a_t\)
  3. agent做出动作后，环境会更新状态为\(s_{t+1}\)，同时给出一个奖励\(r_t\)。

1.3 强化学习中的随机性

随机性有两个来源：

  1. agent动作的随机性
  2. 状态转移的随机性

第一个随机性是从agent动作来的，因为动作是根据 policy 函数随机抽样得来的。

  • \(\pi(left / s)=0.2\)

  • \(\pi(right / s)=0.1\)

  • \(\pi(up / s)=0.7\)

  • agent可能做其中任何一个中动作，但动作概率有大有小。

另一个随机性来源是状态转移。

  • 假定agent做出一个动作，那么环境就要生成一个新状态\(S'\)。
  • 环境用状态转移函数 \(p\) 算出概率，然后用概率来随机抽样来得到下一个状态

1.4 用AI玩游戏

通过强化学习得到的 policy 函数\(\pi\)，来控制 agent：

  1. 观测到当前的状态 s1

  2. ai 通过 policy 函数 随机抽样 做出 动作 a1（例子中的 左、右、上）

  3. environment 会生成一个 下一个状态 s2，并给 agent 一个奖励 r1

    值得注意的是，这个 \(r_1\) 是什么时候给的？

    是在状态 state \(s_2\) 的时候给的。

  4. ai 继续以新的状态 作为输入，生成下一个动作 a2

  5. .......

  6. 循环直到游戏结束（赢或者输）

通过上面的步骤可以得到一个 (state, action, reward) 轨迹Trajectory（序列）：

s1,a1,r1,s2,a2,r2,⋯,st,at,rt

1.5 Reward && Return

Reward 在上面介绍过， Return 是 Reward 的线性组合。

a. Return 的定义

Return 回报，又被称为cumulative future reward，未来的累计奖励

  • \[U_t = R_t+R_{t+1}+R_{t+2}+\cdots \]

把从 t 时刻开始的奖励全都加起来，一直加到游戏结束的最后一个奖励。

不过我们要想一个事情：

对于 Ut 而言，Rt 和 Rt+1 同样重要吗？

  • 假设有两个选项
    • 立马给你一百块
    • 一年后给你一百块

一般大多数人会选立刻拿到100块，因为未来的不确定性很大。

如果改成现在给你80，或者一年后给你100块，这时候就不像上面那么肯定了。

这说明， Ut 的各个求和项，未来的奖励不如现在的奖励好，应当打一个折扣。即：Rt+1 的 权重Weights 要小于 Rt。

所以我们针对这个考虑进行一个调整，对 Rt+1 以后进行一个权重调整，也即 强化学习中的 Discounted Return.

Discounted Return，折扣回报，也被称为：cumulative discounted future reward

  • 折扣率称为 \(\gamma\)，该值介于0到1之间，是一个超参数，决定未来回报的重要程度。

  • 调整之后的 Return 为：

    \[U_t=R_t+\gamma R_{t+1}+\gamma^2 R_{t+2}+\gamma^3 R_{t+3}+\cdots \]

关于公式的字母表达问题：

假如游戏已经结束了，所有的奖励都观测到了，那么奖励就都是数值，用小写 r 表示。

如果在 t 时刻游戏还没有结束，这些奖励就还都是随机变量，就用大写字母 R 来表示奖励。

回报 U 依赖于奖励 R，所以它也是个随机变量，也要用大写字母表示。

b. 回报的随机性 Randomness in Returns

  • \(U_t = R_t + \gamma{}R_{t+1}+\gamma^2 R_{t+2} + \gamma^3 R_{t+3} + ...\)

上面1.3 提到 随机性 有两个来源:

  1. 动作是随机的

    \(\mathbb{P}[A=a|S=s]=\pi(a|s)\)

  2. 下一个状态是随机的

    \(\mathbb{P} [S'=s'|S=s,A=a]=p(s'|s,a)\)

对于任意时刻的 $ i\geq t$，奖励 \(R_i\) 取决于 \(S_i\) 和 $$A_i$$，而回报 \(U\) 又是未来奖励的总和。

因此，观测到 t 时刻状态 \(s_t\)，回报 \(U_t\) 就依赖于如下随机变量

  • $ A_t, A_{t+1}, A_{t+2},\cdots $$和 $$S_{t+1},S_{t+2},\cdots$

1.6 价值函数

a. 由来

Action-Value Function \(Q(s,a)\)

上面说到Discounted Return 折扣回报，cumulative discounted future reward

  • \(U_t=R_t+\gamma R_{t+1}+\gamma^2 R_{t+2}+\gamma^3 R_{t+3}+\cdots\)

\(U_t\)是个随机变量，在 t 时刻并不知道它的值是什么，那如何评估当前形势？

可以对$$U_t$$求期望，把里面的随机性都给积掉，得到的就是个实数。打个比方就是抛硬币之前，不知道结果是什么，但知道正反面各有一半的概率，正面记作1，反面记作0，得到的期望就是0.5。

同样对 \(U_t\) 求期望，就可以得到一个数，记作 \(Q_\pi\)

这个期望怎么求的？

  • 把 \(U_t\) 当作未来所有动作 \(A\) 和状态 \(S\) 的一个函数，未来动作 \(A\) 和状态 \(S\) 都有一个随机性；

  • 动作 \(A\) 的概率密度函数是策略函数 （policy函数）

    $ \mathbb{P}(A=a|S=s) = \pi(a|s)$ ；

  • 状态$$S$$的概率密度函数是状态转移函数 \(\mathbb{P}(S'=s'|S=s,A=a) = p(s'|s,a)\)

  • 期望就是对这些 \(A\) 和 \(S\) 求的，把这些随机变量都用积分给积掉，这样除了 \(S_t\) 与 \(A_t\)，其余所有的随机变量 (\(A_{t+1},A_{t+2},\cdots\) 和 \(S_{t+1},S_{t+2},\cdots\)) 都被积掉了。

求期望得到的函数就被称为动作价值函数

\(Q_\pi(s_t,a_t)=\mathbb{E}[U_t | S_t=s_t,A_t = a_t]\).

  • 价值函数依赖于什么呢？

    1. \(S_t\) 和 \(A_t\)

      \(S_t\) 与 \(A_t\) 被当作被作为观测到的数值来对待，而不是随机变量，所以没有被积分积掉。 $$Q_\pi$$ 的值依赖于 \(S_t\) 和 \(A_t\) 。

    2. 策略函数 Policy

      积分的时候会用到 Policy 函数\(\pi\)。

b. 动作价值函数

Action-value function.

对于策略 \(\pi\)，动作价值函数定义如下

  • \(Q_\pi(s_t,a_t) = \mathbb{E}[U_t|S_t=s_t,A_t=a_t]\)
    • \(Q_\pi\)依赖于当前动作\(a_t\)与状态\(s_t\)，还依赖于策略函数\(\pi\) (积分时会用到它，\(\pi\)不一样，得到的\(Q_\pi\)就不一样)。
    • 直观意义：如果用策略函数\(\pi\)，那么在\(s_t\)这个状态下做动作\(a_t\)，是好还是坏。它会给当前状态下每个动作打分，这样就知道哪个动作好那个动作差。

动作价值函数依赖于\(\pi\)，那么如何去掉 \(\pi\) ?

可以对 \(Q_\pi\) 关于 \(\pi\) 求最大化。意思就是可以有无数种策略函数 \(\pi\)，但我们要采用最好的那一种策略函数，即让 \(Q_\pi\) 最大化的那个函数。

\(Q_{\pi}\)最大化的那个函数为：最优动作价值函数 Optimal action-value Function 。

  • \(Q^*(s_t,a_t) = \mathop{max}\limits_{\pi}Q_\pi(s_t,a_t)\)
  • 直观意义：对动作 a 做评价，如果当前状态是 \(s_t\)，\(Q*\) 会告诉我们动作 \(a_t\) 好不好。agent就可以拿 Q* 对动作的评价来作决策。

c. 状态价值函数

State-value function. 状态价值函数 \(V_\pi\)是动作价值函数\(Q_\pi\)的期望。

  • \(V_π(s_t)=E_A[Q_π(s_t,A)]\)
  • 而\(Q_\pi\) 与策略函数 \(\pi\) ，状态 \(s_t\) 和动作 \(a_t\) 都有关，可以将 A 作为随机变量，对 A 求期望消掉 A, 这样 \(V_\pi\) 就只与 \(\pi\) 和 \(s\) 有关。

直观意义：告诉我们当前局势好不好，比如下围棋，当前是快赢了还是快输了。评价的是当前的 state。

这里期望是关于随机变量 A 求的，它的概率密度函数是

\(π(⋅∣s_t)\)，根据期望定义（线性可加性），可以写成连加或者积分的形式。

如果动作是离散的，如上下左右：

  • \(V_\pi(s_t) = \mathbb{E_A}[Q_\pi(s_t,A)]=\sum_a\pi(a|s_t)\cdot{Q_\pi}(s_t,a)\)

    这里动作是离散的。

如果动作是连续的，如方向盘角度，从正90度到负90度。

  • \(V_\pi(s_t) = \mathbb{E_A}[Q_\pi(s_t,A)]=\int\pi(a|s_t)\cdot {Q_\pi}(s_t,a)da\)

    这里动作是连续的

d. 总结

  • 动作价值函数\(Q_\pi(s_t,a_t) = \mathbb{E}[U_t|S_t=s_t,A_t=a_t]\)

    它跟策略函数 \(\pi\)，状态 \(s_t\)，动作 \(a_t\)有关，是 \(U_t\) 的条件期望。

    能告诉我们处于状态 s 时采用动作 a 是否明智，可以给动作 a 打分。

  • 状态价值函数\(V_{\pi}(s_t) = \mathbb{E}_A[Q_\pi(s_t,A)]\)

    它是把\(Q_\pi\)中把 A 用积分给去掉，这样变量就就只剩状态 s 。它跟策略函数 \(\pi\)，状态 \(s_t\) 有关，跟动作 \(a_t\) 无关。

    能够评价当前局势是好是坏，也能评价策略函数的好坏，如果 \(\pi\) 越好，则 \(V_\pi\) 期望值\(\mathbb{E}_S[V_\pi(S)]\)越大。

1.7 如何用强化学习玩游戏

a. 两种学习方式

假设在马里奥游戏中，目标在于尽可能吃金币，避开敌人，通关。如何做？

  1. 一种是学习一个策略函数 \(\pi(a|s)\)，这叫 policy basement learning 策略学习，然后基于此来控制agent做动作。

    每观测到一个状态 \(s_t\)，就把 \(s_t\) 作为 \(\pi(\cdot|s)\) 函数输入，\(\pi\) 函数输出每一个动作的概率，基于概率来 随机采样 获取动作 \(a_t\)，让agent 来执行这个\(a_t\)。

  2. 另一种是学习最优动作价值函数\(Q^*(s,a)\)，这叫 value basement learning 价值学习，它告诉如果处于状态s，做动作a是好还是坏。

    每观测到一个状态 \(s_t\)，把 \(s_t\) 作为 \(Q^*(s,a)\) 函数输入，让 \(Q^*(s,a)\) 对每一个动作做一个评价，得到每个动作的 Q 值。选择输出值最大的动作，\(a_t = argmax_a Q^*(s_t,a)\)，因为 Q 值是对未来奖励总和的期望，如果向上动作 Q 值比其他动作 Q 值要大就说明向上跳的动作会在未来获得更多的奖励。

b. OpenAI Gym

OpenAI Gym https://gym.openai.com 是强化学习最常用的标准库。如果得到了 \(\pi\) 函数或者 \(Q*\) 函数，就可以用于Gym的控制问题和小游戏，来测试算法的优劣。

按照官方文档，安装 gym，就可以用 python 调用 gym 的函数。

安装 gym 想专门另开一篇笔记来记录，目前跑视频教程里的demo还是可以的。

简易安装过程：

pip install gym==0.15.7 -i http://mirrors.aliyun.com/pypi/simple --trusted-host mirrors.aliyun.com

截止2022-07-03，gym最新版本是0.21，但由于我的 python 环境为 3.6.4，所以我的 gym版本需要下降。

我的 pip 最近总是连接不到远端库，执行pip install 库会报错：

Retrying (Retry(total=0, connect=None, read=None, redirect=None, status=None))
after connection broken by 'SSLError(SSLError(1, u'[SSL: CERTIFICATE_VERIFY_FAI
LED] certificate verify failed (_ssl.c:726)'),)': /packages/0f/fb/6aecd2c8c9d0ac
83d789eaf9f9ec052dd61dd5aea2b47ffa4704175d7a2a/psutil-5.4.8-cp27-none-win_amd64.
whl

python使用pip安装模块出错 Retrying (Retry(total=0, connect=None, read=None, redirect=None, status=None)) - Aimed - 博客园 (cnblogs.com)

所以需要命令行后面的部分。

然后其他的东西我还没有装。如果装了会更新在安装笔记里。参考教程为：

  1. https://blog.csdn.net/weixin_33654339/article/details/113538141
  2. Gym Documentation (gymlibrary.ml)
  3. https://github.com/openai/gym

c. gym 例程

import gym
import time
# 生成 CartPole 环境
env = gym.make('CartPole-v0')

# 重置环境
state = env.reset()

# 这里的循环就是上面 s,a,r的过程
for t in range(10000):
    # 弹出窗口来显示游戏情况
    env.render()
    print(state)

    # 随机均匀抽样一个动作记为 action
    # 这里是为了图方便，实际应用应该通过policy函数或者Q*来选择。
    action = env.action_space.sample()
    
    # 把action输入到step()函数,即agent执行这个动作
    state,reward,done,info = env.step(action)
    # 为了不让窗口太快消失
    time.sleep(1)
    if done:
        print("Finished")
        break


env.close()

运行效果：


如何在Typora 中使用行内公式：

  • 以前只会使用行间公式，但在这篇笔记里十分不方便，查了一下。
  • 在偏好设置-> markdown -> 勾选内联公式。
  • 需要关闭文件重启一下才能看到效果。

x. 参考教程

posted @ 2022-07-04 10:25  climerecho  阅读(988)  评论(2)  编辑  收藏  举报