树链剖分入门-Hdu3966 Aragorn's Story
AC通道：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3966
[题目大意]
一棵树上每个点有权值，每次支持三种操作：给[a,b]路径上的所有节点的权值加上k，给[a,b]路径上的所有节点的权值减去k，以及询问a的权值．
[分析]
这是一道树链剖分模板题．
树链剖分，就是将树化成了许多链，将这些链用数据结构保存起来，再去维护这个数据结构．
假设给的树就是一条链，这道题当然很好办：直接将链用线段树存了，因为[a,b]的路径在线段树上也是连续的一段，那么修改一段就是log(n)的，询问节点也可以log(n)完成．
但是给的是一棵树，树上两点间的路径虽然也是唯一确定的，但是在线段树上就不一定是连续的一段了．
于是乎，就需要一种将每条树上路径分成若干个连续段的算法．
这就是树链剖分了．
首先定义一下重儿子的概念：v是u的重儿子，当且仅当size(v)>=size(v')对于任意u的儿子v'成立．就是u的儿子中所在子树最大的儿子．
树链剖分将树分成重链和轻边，重链指的是每个节点与其重儿子相连，其重儿子再与其重孙子相连得到的链．轻边就是连接重链的边．
[我这儿没图....要图找别人：http://blog.sina.com.cn/s/blog_7a1746820100wp67.html 这个图其实也长得不怎么好看]
通过这样一个划分，就有了优美的性质：任意两点间的路径上最多有log(n)条重链．
然后就可以将重链上的点连续地存进线段树中，每次将路径划分成若干个重链的部分来处理就可以了．
这样下来每条路径处理就是log(n)*log(n)的．
具体步骤：
首先一遍dfs．处理出一些东西：每个节点子树的大小->每个点的重儿子，每个点的深度[这个在划分路径的时候有用]，每个节点的父节点．
然后再一遍dfs．给每个点标号，注意将重链的编号连续，同时记录每个点所在重链的顶端节点[这个怎么操作可以具体看代码]
然后建线段树：跟往常一样的建立方法．
询问：在线段树上询问，记得下传标记就好．
修改：思考怎么划分，如果询问的两点，假设是x,y．
当x,y处于同一条重链时：直接用线段树的区间修改，当不是同一条重链时，就需要将他们移动到同一条重链．
首先判断x,y所在重链，谁的上端距离根更远，假设是x，那么将x调至其所在重链的上端的父亲节点[这样就移动到了另一条重链上]，同时还要将x到重链上端的这一部分在线段树中加tag．
依次这样操作，就可以等到x,y在同一条重链上的时候了．[具体也可以看代码]
希望通过这道题，大家也就能大概理解树链剖分的思想所在了...
献上代码：
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; inline int in(){ int x=0,f=1;char ch=getchar(); while((ch>'9' || ch<'0') && ch!='-') ch=getchar(); if(ch=='-') f=-1,ch=getchar(); while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f; } const int maxn=50010; int n,m,q; int cnt; int a[maxn],id[maxn],Idex,rk[maxn]; int depth[maxn],sz[maxn],fa[maxn]; int top[maxn],son[maxn],head[maxn]; char ord[2]; struct Spot{ int data,next; }spot[maxn<<1]; #define now spot[pt].data #define then spot[pt].next struct Node{ int dt,tg; }s[maxn<<2]; inline void add(int u,int v){ spot[cnt].data=v;spot[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++; spot[cnt].data=u;spot[cnt].next=head[v];head[v]=cnt++; } void dfs1(int x,int f){ sz[x]=1,fa[x]=f; for(int pt=head[x];pt!=-1;pt=then) if(now!=f){ depth[now]=depth[x]+1; dfs1(now,x); sz[x]+=sz[now]; if(son[x]<0 || sz[now]>sz[son[x]]) son[x]=now; } } void dfs2(int x,int tp){ top[x]=tp,id[x]=++Idex,rk[id[x]]=x; if(son[x]<0) return; dfs2(son[x],tp); for(int pt=head[x];pt!=-1;pt=then) if(now!=fa[x] && now!=son[x]) dfs2(now,now); } void build(int l,int r,int rt){ s[rt].dt=s[rt].tg=0; if(l==r){ s[rt].dt=a[rk[l]];return; } int mid=(l+r)>>1; build(l,mid,rt<<1); build(mid+1,r,rt<<1|1); } inline void push_down(int x){ if(s[x].tg){ s[x<<1].tg+=s[x].tg,s[x<<1].dt+=s[x].tg; s[x<<1|1].tg+=s[x].tg,s[x<<1|1].dt+=s[x].tg; s[x].tg=0; } } void add_tag(int l,int r,int x,int y,int rt,int val){ if(l==x && r==y){ s[rt].dt+=val,s[rt].tg+=val; return; } int mid=(l+r)>>1; if(y<=mid) add_tag(l,mid,x,y,rt<<1,val); else if(x>mid) add_tag(mid+1,r,x,y,rt<<1|1,val); else add_tag(l,mid,x,mid,rt<<1,val),add_tag(mid+1,r,mid+1,y,rt<<1|1,val); } int query(int l,int r,int rt,int k){ if(l==r) return s[rt].dt; push_down(rt); int mid=(l+r)>>1; if(k<=mid) return query(l,mid,rt<<1,k); else return query(mid+1,r,rt<<1|1,k); } void modify(int x,int y,int val){ while(top[x]!=top[y]){ if(depth[top[x]]<depth[top[y]]) swap(x,y); add_tag(1,n,id[top[x]],id[x],1,val); x=fa[top[x]]; } if(id[x]>id[y]) swap(x,y); add_tag(1,n,id[x],id[y],1,val); } int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("3966.in","r",stdin); freopen("3966.out","w",stdout); #endif int u,v,x; while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&q)){ Idex=cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=in(),head[i]=son[i]=-1; for(int i=1;i<n;i++) u=in(),v=in(),add(u,v); dfs1(1,0); dfs2(1,1); build(1,n,1); while(q--){ scanf("%s",ord); if(ord[0]=='Q'){ x=in(); printf("%d\n",query(1,n,1,id[x])); } else{ u=in(),v=in(),x=in(); if(ord[0]=='D') x=-x; modify(u,v,x); } } } return 0; }
