BZOJ 3143 HNOI2013 游走 高斯消元 期望
这道题是我第一次使用高斯消元解决期望类的问题，首发A了，感觉爽爽的....
不过笔者在做完后发现了一些问题，在原文的后面进行了说明。
中文题目，就不翻大意了，直接给原题：
一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。
输出最小的总分期望值。
Solution:
这题贪心很明显，哪条边走过次数的期望最大，它就应该获得最小的编号。
所以假设我们已经求出了每条边走过的期望，我们就可以给它们并编上号了。
怎么算出每条边走过的期望呢？
每条边连接着两个点u,v，很明显的，当我们经过这条边，一定是从两个点中的某一个进入。
所以走过边l的期望=走过u点的期望次数*从u点走到l上的概率+走过v点的期望次数*从v点走到l上的概率 （其中从i点走到它连接边的概率为1/d[i]，d[i]为i的度数）
即：E[l]=e[u]/d[u]+e[v]/d[v]
可是我们只知道e[n]=0。但我们还知道这些点之间哪些是连通的，从而可以得出它们之间的关系：
我们就可以利用这些点之间的关系建立起方程组，从而使用高斯消元求解。
别忘了，点求解完还要带回到每条边上去哦....
附Bzoj上的AC代码（codevs上过不了...我也不知道为什么...）
1 /* 2 Problem : Bzoj 3143 概率 & 高斯消元 3 Author : Robert Yuan 4 Memory : 15604 kb 5 Time : 628 MS 6 Result : Accept 7 */ 8 #include <cmath> 9 #include <cstdio> 10 #include <cstring> 11 #include <cstdlib> 12 #include <algorithm> 13 14 using namespace std; 15 16 #define maxn 520 17 18 struct Node{ 19 int data,next; 20 }node[maxn*maxn<<1]; 21 22 struct Edge{ 23 int u,v; 24 double w; 25 }edge[maxn*maxn<<1]; 26 27 #define now node[point].data 28 #define then node[point].next 29 30 int n,m,cnt; 31 int head[maxn],deg[maxn]; 32 const double eps=1e-6; 33 double w[maxn][maxn],rec_x[maxn],ans; 34 35 bool cmp(const Edge A,const Edge B){ 36 return A.w>B.w; 37 } 38 39 inline int in(){ 40 int x=0;char ch=getchar(); 41 while(ch>'9' || ch<'0') ch=getchar(); 42 while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); 43 return x; 44 } 45 46 void add(int u,int v){ 47 node[++cnt].data=v;node[cnt].next=head[u];deg[u]++;head[u]=cnt; 48 node[++cnt].data=u;node[cnt].next=head[v];deg[v]++;head[v]=cnt; 49 } 50 51 void prework(){ 52 n=in();m=in(); 53 int u,v; 54 for(int i=1;i<=n;i++) head[i]=-1; 55 for(int i=1;i<=m;i++) 56 u=in(),v=in(),edge[i].u=u,edge[i].v=v,add(u,v); 57 int point; 58 for(int i=1;i<=n;i++){ 59 w[i][i]=1; 60 point=head[i]; 61 while(point!=-1){ 62 w[i][now]=-(double)1/deg[now]; 63 point=then; 64 } 65 } 66 w[1][n+1]=1; 67 } 68 69 void Swap(int i,int j,int x){ 70 double t; 71 for(int k=x+1;k<=n+1;k++) 72 t=w[i][k],w[i][k]=w[j][k],w[j][k]=t; 73 } 74 75 void gauss(){ 76 int i,j; 77 for(i=1,j=1;i<=n && j<=n;i++,j++){ 78 int max_r=i; 79 for(int k=i+1;k<=n;k++) 80 if(fabs(w[max_r][j])+eps<fabs(w[k][j])) 81 max_r=k; 82 if(fabs(w[max_r][j])<eps){i--;continue;} 83 if(max_r!=i) Swap(i,max_r,j); 84 for(int k=i+1;k<=n;k++){ 85 double rate=w[k][j]/w[i][j]; 86 w[k][j]=0; 87 for(int l=j+1;l<=n+1;l++) 88 w[k][l]-=w[i][l]*rate; 89 } 90 } 91 92 for(int i=n;i>=1;i--) 93 if(fabs(w[i][i])>eps){ 94 double ans_c=w[i][n+1]; 95 for(int k=i+1;k<=n;k++) 96 ans_c-=w[i][k]*rec_x[k]; 97 rec_x[i]=ans_c/w[i][i]; 98 } 99 } 100 101 void mainwork(){ 102 gauss(); 103 for(int i=1;i<=m;i++){ 104 edge[i].w=rec_x[edge[i].u]/deg[edge[i].u]+rec_x[edge[i].v]/deg[edge[i].v]; 105 } 106 sort(edge+1,edge+m+1,cmp); 107 for(int i=1;i<=m;i++) 108 ans+=edge[i].w*i; 109 printf("%.3lf",ans); 110 } 111 112 int main(){ 113 #ifndef ONLINE_JUDGE 114 freopen("x.in","r",stdin); 115 #endif 116 prework(); 117 mainwork(); 118 return 0; 119 }
[以下是笔者后来发现的问题]
首先感谢某位不愿意透露姓名的人堆同学复制了我的代码，然后代入了样例，结果：
然后第三行是无解？可是答案却能跑出来...于是我傻了...开始胡乱吹逼[毕竟这么久没打了...]
好吧，然后各种逼都被打败了...(●—●)
只能认真看看到底出了什么问题，于是发现这个式子有奥妙：
左边的e[i]表示走到i点的期望，右边的e[j]表示走出j点的期望。
“走到”和“走出”却并不是一样的！
我们设e[i]表示走到i点的概率,e'[i]表示走出i点的概率。
如果说i!=n那么走到就能走出,e[i]=e'[i]；
如果i==n那么就有e'[n]=0,e[n]=1他们俩不同...尽管都已知，而我们列式子的时候，将e'[n]作为未知数带进别的点的式子里，但在n自己的式子中却用的是e[n]，导致两个变量混淆。
所以鉴于e'[n]=0，就将建立方程部分修改了一下：
于是现在的式子就发生了变化，最后化出来的矩阵也变成了正常的样子：
这样解出来的就是e[n]是到达n点的期望=1，当然在给边设定权值的时候，我们用的都是e'[i]，所以我们手动修改一下e'[n]=0就好了...
下面是修改过后的代码：
#include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 520 struct Node{ int data,next; }node[maxn*maxn<<1]; struct Edge{ int u,v; double w; }edge[maxn*maxn<<1]; #define now node[point].data #define then node[point].next int n,m,cnt; int head[maxn],deg[maxn]; const double eps=1e-6; double w[maxn][maxn],rec_x[maxn],ans; bool cmp(const Edge A,const Edge B){ return A.w>B.w; } inline int in(){ int x=0;char ch=getchar(); while(ch>'9' || ch<'0') ch=getchar(); while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x; } void add(int u,int v){ node[++cnt].data=v;node[cnt].next=head[u];deg[u]++;head[u]=cnt; node[++cnt].data=u;node[cnt].next=head[v];deg[v]++;head[v]=cnt; } void prework(){ n=in();m=in(); int u,v; for(int i=1;i<=n;i++) head[i]=-1; for(int i=1;i<=m;i++) u=in(),v=in(),edge[i].u=u,edge[i].v=v,add(u,v); int point; for(int i=1;i<=n;i++){ w[i][i]=1; point=head[i]; while(point!=-1){ if(now!=n) w[i][now]=-(double)1/deg[now]; else w[i][now]=0; point=then; } } w[1][n+1]=1; } void Swap(int i,int j,int x){ double t; for(int k=x+1;k<=n+1;k++) t=w[i][k],w[i][k]=w[j][k],w[j][k]=t; } void gauss(){ int i,j; for(i=1,j=1;i<=n && j<=n;i++,j++){ int max_r=i; for(int k=i+1;k<=n;k++) if(fabs(w[max_r][j])+eps<fabs(w[k][j])) max_r=k; if(fabs(w[max_r][j])<eps){i--;continue;} if(max_r!=i) Swap(i,max_r,j); for(int k=i+1;k<=n;k++){ double rate=w[k][j]/w[i][j]; w[k][j]=0; for(int l=j+1;l<=n+1;l++) w[k][l]-=w[i][l]*rate; } } for(int i=n;i>=1;i--) if(fabs(w[i][i])>eps){ double ans_c=w[i][n+1]; for(int k=i+1;k<=n;k++) ans_c-=w[i][k]*rec_x[k]; rec_x[i]=ans_c/w[i][i]; } rec_x[n]=0; } void mainwork(){ gauss(); for(int i=1;i<=m;i++){ edge[i].w=rec_x[edge[i].u]/deg[edge[i].u]+rec_x[edge[i].v]/deg[edge[i].v]; } sort(edge+1,edge+m+1,cmp); for(int i=1;i<=m;i++) ans+=edge[i].w*i; printf("%.3lf",ans); } int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("x.in","r",stdin); #endif prework(); mainwork(); return 0; }
最后再次鸣谢人堆同学提出的问题，有问题才有进步嘛，欢迎大家提问哦...
