一些有趣的概率题(2)

引入（概率的由来）（题目0）

　　概率论的起源与赌博问题有关.16世纪,意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题.

　　17世纪中叶,当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子,如果其中没有 6 点出现,玩家赢,如果出现一次 6 点,则庄家（相当于现在的赌场）赢.

　　按照这一游戏规则,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大部分时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象.　　

　　（这种规则的庄家赢的概率是多少？）

　　后来为了使游戏更刺激,游戏规则发生了些许变化,玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次,不同时出现2个6点,玩家赢,否则庄家赢.

　　当时人们普遍认为,2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ,因此 6 倍于前一种规则的次数,也就是 24 次赢或输的概率与以前是相等的.

　　然而事实却刚好相反,从长期来看,这回庄家处于输家的状态,于是他们去请教当时的数学家帕斯卡,求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生.

　　（第二种规则的庄家赢的概率又是多少？）

 

Solution_0：这是一道热身的题目，相信大家一定都会算。

　　第一种规则：ans=1-(5/6)^4=0.517747（这是从反面算用1-庄家输的概率，当然也可以用正面算用一个6的概率+两个6的概率+...+四个6的概率）

　　第二种规则：ans=1-(35/36)^24=0.491404（同上）

　　不同的原因是，虽然1/36是1/6的1/6倍，但是35/36的六次方不等于5/6，所以两个的答案就不会相等了。

 

题目1：

　　生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%，这是为什么呢？

 

Solution_1：第一个人任选一天生都可以，第二个人和第一个人不同的概率364/365，第三个人和前两个不同的概率是363/365....利用乘法原理，将他们相乘即可。

 

这道题之所以反常识（人们通常觉得要183个人以上）是因为人们通常没有单独考虑每个人，而是把182人自动认为互不相同的放进去，然后只考虑第183人是不是和前面的冲突....这显然是不对的...

 

 

题目二：三门问题：

有三张门，其中一张门后是神秘大奖，其余两张门后啥也没有。不妨标号为A,B,C门。

平行世界一：某路人走过，打开B门，发现里面啥也没有。问你此时A中有神秘大奖的概率。

平行世界二：什么都知道并且始终诚实的上帝——TB告诉你B中啥也没有。问你此时A中有神秘大奖的概率。

平行世界三：有透视功能的wyy看了除A之外的一张门让你得知里面啥也没有。问你此时A中有神秘大奖的概率。

 

Solution_2

　　平行世界一：因为是路人打开了B，发现里面啥也没有.....其实这个事件发生的概率对于A中没有任何意义，只是排除了B中有大奖的情况。

　　不妨来一个枚举：123 132 213 231 312 321，假设1中有大奖，那么路人打开箱子，说明1不能在第二个门所以剩下的情况只有123 132 231 321，所以1在A中的概率中为1/2

　　平行世界二：同上，因为上帝的出现也只是让B中有大奖的情况消失。

　　平行世界三：wyy的出现其实啥也没做，因为他只是告诉你除A之外的门中有一张后面什么也没有，即使他不说我也知道这一点，只是我不知道是哪张门而已，而他可以告诉你。所以A门后出现的大奖的概率就是最初选择的时候的1/3。

　　大家也许见过主持人奖品的故事（你先选了一张门，主持人打开另一张门表示里面什么也没有，问你改不改你的选择）仔细想下发现就是平行世界三的情况，所以这时候改，就可以让你抽中的概率由1/3变成2/3，因为少一张门，另一张就是1-1/3=2/3了。

　　平时大家想我换不换都一样的原因，就是将主持人当路人了.....而主持人是没有几率打开中奖的箱子的。

 

题目三：

　　16名水平两两不同的选手参加一次淘汰赛，随机抽签安排对阵，依次进行1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、冠亚军决赛。假设强者总是能战胜弱者，那么冠亚季军恰好分别是实际水平第一、二、三名的概率是多少呢？

 

Solution_3：

　　由于强者总是能战胜弱者，水平第一名的一定是淘汰赛的冠军。

　　而如果第二名为淘汰赛的亚军，当且仅当其不在水平第一名的同一个半区，那么相当于在15个位置当中选一个位置（第一名占了一个位置），而15个位置中与第一名同一个半区的有7个，剩下的位置有8个，概率为8/15。

　　 水平第三名为淘汰赛的季军，当且仅当其不在水平前两名的同一个1/4区，那么相当于在14个位置中选一个位置，而在1/4区中与第一名同区的有3个，与第二名同区的也有3个（因为第一名和第二名一定不在一个1/4区），剩下的位置有8个，概率为8/14。

　　因此，总的概率为8/15 * 8/14 = 32/105。

　　这个题其实蛮符合常识的是吧，想想我们常常会因为一个很厉害的球队因为遇上了另一个更厉害的球队而没有拿到一个好名次而感到惋惜，为什么会有常常的感觉，从上面这个概率小到几乎1/3就可以看出。

 

题目四：

　　ydc教主提出了收集ydc教成员，获得ydc神币的活动，其中成员共有n名，例如"vfk""clj""jry"....各种大神名字。只要你购买ydc神教提供的百事可乐，就可以获得一个ydc教的成员的名字。问你收集齐所有ydc教的成员期望购买可乐的瓶数。

 

Solution_4：

　　平时求期望通常是用枚举结果并计算各种结果概率的方法，但是面对这样一道几何分布（就是结果无限）的题，这样的做法是比较难算的（通常我们用等比数列求和？），我们使用一种更巧妙的算法。

　　设f(k)表示我们收集了k名成员仍需要购买才能买齐的瓶数，明显的有f(n)=0，我们要求的就是f(0)。

　　那么我们考虑在f(k)的基础上再买一瓶，如果买到了我得到过的大神，概率为k/n，这样我们还需要再买f(k)，如果我们买到了没有买过的大神，概率为(n-k)/n，这样我们就只要买f(k+1)瓶了。

　　所以我们就得到了公式f(k)-1=f(k)*k/n+f(k+1)*(n-k)/n  （f(k)-1的意义：因为f(k)表示的是还要再开多少，所以我再开一个事实上是给这个数值减少1）

　　整理一下，f(k)=f(k+1)+n/(n-k)

　　所以f(0)=∑_(i=0...n-1)n/(n-k)+f(n)

　　因为f(n)=0，所以f(0)=∑_(i=0...n-1)n/(n-k)=(n/n+n/(n-1)+...+n/2+n/1)=n*(1+1/2+1/3+...+1/n)

　　Ans=n*(1+1/2+1/3+...+1/n)。

 

题目五：

　　wzh在考试AK之后又打开了扫雷，现在他只点了两个键，发现是1和2，他想问问你，在A,B,C三个位置，点中雷的概率分别是多少？【一个n*m的棋盘，总共x个雷】

　　

　　（大家假想一下这个是一个Windows扫雷的棋盘）

 

Solution_5：

　　不要盲目下决定说A是1/8,C是2/8....那我问你B呢？是1/8还是2/8呢？

　　这样想当然是错的，因为1控制的地方和2控制的地方是有重复的（B就是一个）。

　　现在我们考虑这个3*5的矩形（就是1,2所控制的所有区域）。

　　我们可以显然的知道这个3*5矩形内可能有2或3个雷。

　

　　那么我们分类讨论后，再将情况加起来就可以得到最后的答案了。（应该会加吧？....就是(A在情况一中的方案数+A在情况二中的方案数)/(情况一方案总数+情况二方案总数)（B,C类似就好））

　　那我就不赘述了（其实是笔者太懒了...不想再截图了....）

　　这也是生活中的一个概率问题，如果没有仔细考虑真的就会走入开头的那个误区，甚至觉得B是雷的可能最大（其实算出来似乎是最小的）

　　但是仔细想的时候就发现其实这些数字管辖区域之间的联系，所以说概率问题真的是很有趣的。

 

题目六：

　　有一个不透明的球，里面有n个白球，n个黑球。必须按照以下规则把球取出来：

　　1.每次从桶里面拿出来两个球。

　　2.如果两个相同的球，就放进去一个黑球（如果没黑球，就欠着）。

　　3.如果两个不同的球，就放进去一个白球（这个一定能放进去了..）。

　　给你n，求出最后剩下的一个球是黑球的概率。

 

Solution_6：

　　方法一：找规律，设（x，y）表示每次桶中黑球变动 x，白球变动 y的操作。

　　可以发现我们的操作：第一种：两个白球(+1,-2)

　　第二种：两个黑球(-1,0)

　　第三种：一个黑的一个白的(-1,0)

　　然后就神奇地发现，白球每次减少都是偶数个减少！并且每次都是桶中少一个球！所以最后只会剩下一个球

　　所以如果偶数个球，那么剩下的一定不是白色（每次取走偶数个白球，所以剩下的只能是黑球）

　　如果奇数个球，那么剩下的一定是白球 （怎么取都取不走这个白球，脑补想象一下...这个分析还是很靠谱的(zty)）

　　所以答案就很简单了，如果n为偶数，ans=100%，否则为0。

　　

　　方法二：我们发现这里的操作利用了两个球是否相等这个判断，自然而然地想到了异或操作。

　　使用一个巧妙的算法，假设黑球是0，白球是1。

　　忽然发现，每次的操作就相当于，将桶中的两个数拿出来，异或一下，然后把答案放回去。

　　比如拿出相同的，放回去的就是0，不同的放回去就是1（好巧啊....其实我们定义黑球为0，白球为1，就是因为这个.....）

　　异或这个东西么，是满足交换结合律的....所以每次放回去答案，然后把答案又捞起来，然后异或一下又放回去，又捞起来....

　　最后一遍丢下去的，是不是就是将刚开始桶中的所有元素都异或一遍得到的值呢？

　　答案是肯定的。

　　所以偶数个1&偶数个0异或等于0，ans=100%，如果是奇数个1&奇数个0异或等于1，ans=0

　　这道题利用到异或的思想也是很不错的吧....有时候问你概率，答案也有可能是必然的....

 

题目七：

　　Venia和zyj约好在x时间到y时间之间的某个时候在咖啡馆约会，可是Venia和zyj都有些不耐烦，先到的人只会等后来的人z时间，还不来ta就走了。

　　问：他们能成功约会的概率。

 

Solution_7

　　直接想可能不太好想，因为他们到达的时间只是x到y之间的任意一个时刻，而且到达的时间是随机的。

　　这时我们不妨画个图，横坐标表示zyj到达的时刻，纵坐标表示Venia到达的时刻，只有满足这个点在阴影区域内的时候才能相遇。

　　

　　阴影区域的意义在于：横坐标与纵坐标的差值不超过z。

　　最后的答案是阴影面积除以这个矩形的面积。

　　对于遇到需要枚举两个可能数的题，我们常常的做法是使用一张平面图，用面积的比值来考虑概率的问题。