数学与程序设计上的一些概率题
EP_1
先后抛两枚硬币,1>两枚正面向上的概率，2>一枚正面向上，一枚反面向上的概率
So_1
因为情况少可以考虑枚举：（1正0反）11 10 01 00
1> ans=1/4 2> ans=2/4=1/2
Ep_1变式
抛n枚硬币,1> n枚正面向上的概率，2> x枚正面向上，(n-x)枚反面向上的概率
So_1变式
1> ans=1/(2^n)， 显然。
2> 连续x枚正面向上的概率为1/(2^x)，同样地(n-x)枚连续反面向上的概率为1/(2^(n-x))，然后考虑将这些情况统计到n个的箱子中去，那么x枚正面向上的情况可以C(n,x)种放法，每种也都同时对应一种(n-x)枚反面向上的方法，故总共有
ans=C(n,x)*1/(2^x)*1/(2^(n-x))=C(n,x)/(2^n)
Ep_2
一百件产品，95件合格品&5件不合格品，从中取两件。
1>两件都合格的概率
2>两件都不合格的概率
3>一件合格，一件不合格的概率
So_2
我们可以想到，两件都合格相当于直接在合格的当中选两件。
总方案数是：C(100,2)。在合格的当中选两件的方案数是：C(95,2)。
所以，同样的思想，可以解出下面的几个小问。
1>ans=C(95,2)/C(100,2)
2>ans=C(5,2)/C(100,2)
3>ans=C(95,1)*C(5,1)/C(100,2)
Ep_2变式
袋中有n个蓝色球，m个红色球，从袋子中取出k个球，问摸到x个蓝色球的概率。
So_2变式
ans=C(n,x)*C(m,k-x)/C(n+m,k)
Ep_3
wza银行的密码是6位数字，每位上数字均可取0...9这10个数字。wza忘记了他的确切密码。
1>wza随意按下一组6位密码，正好按对的概率是多少？
2>如果wza记得他密码中只有1,2,3，那么他按一次密码正确的概率是多少？
3>如果wza记得他的密码有1个1，2个2，3个3，那么他按一次密码正确的概率是多少？
So_3
1>因为密码总共的可能数是10^6（每一位都有10种可能），所以ans=1/(10^6)
2>可能的总数变成3^6，ans=1/(3^6)
3>有一个1，这个1可以放在任意的6个位置上，有C(6,1)种方法，有2个2，除去刚刚放的1，还有5个位置，有C(5,2)种方法，再考虑3个3，还有三个位置，有C(3,3)种方法，总共是C(6,1)*C(5,2)*C(3,3)=60种可能。
所以ans=1/60。
Ep_4
总共有40只笔，30只黑笔，10只红笔，任意取出4只，其中至少有1只是红笔的概率是多少？
So_4
方法一：至少一只红笔，则可能有1，2，3，4只红笔，ans=C(10,1)*C(30,3)/C(40,4)+C(10,2)*C(30,2)/C(40,4)+C(10,3)*C(30,1)/C(40,4)+C(10,4)*C(30,0)/C(40,4)
方法二：至少一只红笔，则不可能有4只黑笔，ans=1-C(30,4)*C(10,0)/C(40,4)
上面两种算出来一样的。
Ep_5
zyj & wzh两个球员，罚球的概率分别是60%&50%，现在两人各罚球一次。
1>两人都命中的概率
2>只有一人命中的概率
3>至少一人命中的概率
So_5
1>P(ab)=P(a)*P(b)=30%
2>等于zyj中了&wzh没中的概率+zyj没中&wzh中的概率=60%*50%+50%*40%=50%
3>方法一：如果直接算要枚举（zyj，zyj&wzh，wzh）三种情况....
方法二：1-两个都不中的概率=1-40%*50%=80%
方法三：把上面两题答案相加=80%
Ep_6
zyj 罚球的命中率为60%，现在他罚球5次，求他命中四次及以上的概率。
So_6
ans=P(4次)+P(5次)=C(5,4)*(0.6)^4*(1-0.6)+C(5,5)*(0.6)^5=0.34
Ep_7
扔一次骰子，出现1,2,3,4,5,6的概率都是1/6，连续扔十次，出现点数之和为30的概率是多少？
So_7
是否觉得很难做？我们枚举十次可能的情况，总共有6^10种，每种情况都有一个加起来的和，总共可能的和从10到60都有分布。
那么我们就不妨考虑可能出现的和出现的次数，如何考虑呢？
巧妙的利用多项式S=（x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6）表示这一次可能出现的点数情况为1,2,3,4,5,6（x的指数表示点数，x前的系数表示出现了几次），那么所有的情况就被包含在S^10中了，
算出（x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6）^10中x^30的系数就等于所有的可能中点数和为30的总数了（因为每次的乘法相当于指数上的加法）。
如何算出指数为30的系数呢？
（x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6）^10
= x^10*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^10
= x^10*((1-x^6)/(1-x))^10
=然后把后面展开....各种Orz转出来的大神，记得留言告诉我怎么变成这样的
=x^10*sigma(i=0...10)(-1)^i*C(10,i)*x^(6*i)*sigma(i=0..正无穷)C(10-1+i)*x^i
所以之前有x^10，后面还需要x^20次方，所以第一个i=0或1或2或3的时候，后面的i对应的取20,14,8,2，就可以凑出20次方
C(10,0)*C(29,20)-C(10,1)*C(23,14)+C(10,2)*C(17,8)-C(11,2)*C(10,3)=2930455
所以概率ans=2930455/6^10
Ep_8
随机生成3个一定范围内的正整数，求它们能构成一个三角形的概率？
So_8
ans=1/2。
能想出为什么吗？先假设a<=b<=c；
做成一个三角形要求 a+b>c --> a/c+b/c>1，a/c和b/c是两个在(0,1]的实数，不妨设x=a/c,y=b/c，则(x,y)会在第一象限的一个大小为1的正方形内。
再做一条直线x+y=1，那么这根直线将这个正方形平均分成两份。落在直线上方就是满足，直线下方就不满足，所以概率是1/2。
