数论函数（未完成）
一、常见数论函数
1.单位函数
\(\epsilon(n)=[n=1]\)完全积性函数
2.标号函数
\(Id_k(n)=n^k\)完全积性函数
3.除数函数
\(\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k\)积性函数
4.欧拉函数
\(\varphi(n)=n*\prod_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\)积性函数
5.莫比乌斯函数
二、狄利克雷卷积
1.定义
\[对于\forall 数论函数g,h,f,定义h=f*g为\\h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})
\]
2.性质
\[1.\varphi*1=Id,即\sum_{d|n}\varphi(d)=Id(n)\\2.\mu*1=\epsilon\\3.\\4.\\5.\\6.交换律\\7.结合律
\]
3.计算
1.某一项：整除分块\(O(\sqrt n)\)
2.前n项：调和级数\(O(n\ \log n)\)
4.例题
\(\sum_{i=1}^{n}\gcd(i,n)=\sum_{d|n}d*\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]=\sum_{d|n}Id*\varphi(\frac{n}{d})\)
三、莫比乌斯反演
1.形式
(1).如果\(f(n)=\sum_{n|d}g(d)\mu(\frac{d}{n})\),那么\(g(n)=\sum_{n|d}f(d)\)
(2).如果\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\mu(\frac{n}{d})\),那么\(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\)
2.例题
(1)\([CF803F]\)一个数列，求有多少子序列的最大公约数为1 ,\(O(n\ \log n)\)
(2)\([LuoguP3455]\)\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}[gcd(i,j)=k],O(\sqrt n)\)
(3)\([BZOJ2693]\)\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}lcm(i,j),O(n)\)
