组合数问题
Chapter 1 组合数的求解
组合数递推
\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}
\]
for(int i=0;i<=n;i++)c[i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
用于较小数据
可对应杨辉三角
例题： [BZOJ2302]-[HAOI2011]Problem c ；NOIP 2016 组合数问题
直接运用公式
\[\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
inline ll C(ll n,ll m){
if(n<m)return 0;
ll ans=1;
for(int i=0;i<m;i++){
ll a=(n-i)%mod;
ll b=(m-i)%mod;
ans=ans*(a*Pow(b,mod-2)%mod)%mod;
}
return ans%mod;
}
用于有m较小，n较大（无法预处理）或询问次数小的情况，模数需为质数。
逆元预处理
求逆元方式可见TonyYuan 【初等数论】乘法逆元略解
inline int C(int n,int m){
if(n<m)return 0;
return inv[n]*fac[m]%mod*fac[n-m]%mod;
}
inv[0]=fac[0]=1;
for(int i=1;i<=maxn;i++)
inv[i]=inv[i-1]*i%mod;
fac[maxn]=Pow(inv[maxn],mod-2);//费马小定理求逆元
for(int i=maxn-1;i;i--)
fac[i]=fac[i+1]*(i+1)%mod;
这种方法用于大部分的组合数问题，数据规模常为1 e 5-1 e 7左右，模数需为质数。
Lucas定理
\[\binom{n}{m}\equiv\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}\binom{n/p}{m/p}\left(mod\ p\right)
\]
inline int lucas(int n,int m){
if(m==0)return 1;
return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
适用于数据规模较大，但m与模数中至少有一个较小的情况
| n | m | 模数 | 询问次数 | 方法 |
|---|---|---|---|---|
| 较小 | 较小 | 无限制 | 多 | 杨辉三角递推 |
| 较小 | 较小 | 无限制 | 少 | 公式直接求 |
| 较大 | 较小 | 质数 | 少 | 公式直接求+费马小定理求逆元+(Lucas) |
| 适中 | 适中 | 质数 | 多 | 线性预处理逆元+公式 |
| 较大 | 较大 | 质数 | 多 | 线性预处理逆元+Lucas |
| - | - | 无模数 | - | 凉心出题人 用高精吧 |
Chapter 2 组合数的性质(待更)
插板法——球盒问题
1.盒数固定，球数不固定，盒可以为空
\[\sum_\left.i=1\right.^n\binom{i+m-1}{m-1}\Leftrightarrow\binom{n+m}{m}
\]
例题： [BZOJ4403]-序列统计
Others
1.组合数前缀和
\[\sum_\left.i=1\right.^k\binom{n}{i}\Leftrightarrow
\]
