LOJ3397 春天，在积雪下结一成形，抽枝发芽

计数不包含非平凡值域连续段的 \(n\) 元排列个数，对 \(1 \dots N\) 分别求。

根据析合树的知识，排列分成几类：

1. \(1\) 元
2. 根是合点，有两个以上孩子（有两种顺序）
3. 根是析点，有四个以上孩子

其中情况 3 包含了答案。

设 \(4\) 元以上答案的 OGF 是 \(F(x)\)，\(n \ge 1\) 元排列的 OGF 是 \(P(x)\)。

则有：

\[P = x + \frac{2P^2}{1+P} + F(P) \]

其中 2 情况用容斥计算：每段给一个 \(-1\) 的系数，这样每种分段方式的贡献都是 \(1\)。

化成 \(P\) 的复合逆的形式：

\[P - F(P) - \frac{2P^2}{1-P} = x \]

所以 \(H(x) = x - F(x) - \dfrac{2x^2}{1-x}\) 是 \(P\) 的复合逆。

所以只要求出 \(P\) 的复合逆 \(G\) 就能求 \(F(x)\)。

而 \(P\) 满足 \(x(xP)' = P - x\)，即 \(x(P(x) - xP'(x)) = P(x) - x\)

带入 \(x = G\) 得

\[xGG' - G^2 = (x-G)G' \]

注意到 \(G(F) = x, (G(F))' = G'(F)F' = 1, G'(F) = \dfrac{1}{F'}\)。

两边提取 \([x^n]\) 项分治 FFT 即可。