exgcd

什么是exgcd

exgcd 是用来求解不定方程、逆元等问题的工具

可以求解方程$$ax+by=gcd(a,b)$$并返回 $gcd$ 值

代码

Copy CodeView codeint exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
  if(b == 0){
    x = 1; y = 0; //ax = gcd(a, 0) = a
    return a;
  }
  int result = exgcd(b, a % b, x, y);
  int tp = x;
  x = y;
  y = tp - a / b * y; //见说明
  return result; //gcd
}

说明

$x,y$ 的求值方法

• 设$a^{\prime }=b,b^{\prime }=amodb$
• $a^{\prime }x+b^{\prime }y=gcd(a^{\prime },b^{\prime })$
• 根据一般 $gcd$ 的方法可知 $gcd(a,b)=gcd(a^{\prime },b^{\prime })$
• $\therefore$ $a^{\prime }x+b^{\prime }y=gcd(a,b)$
• $bx+(amodb)y=gcd(a,b)$
• $\because amodb=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$ (以下下取整除用 $/$ 表示)
• $\therefore bx+(a-a/b\times b)y=gcd(a,b)$
• $\therefore$提取$-a/b\times by$ 得

• $$b(a/b\times y)+ay=gcd(a,b)$$

因此对应原来x, y的就是y, x-a/b*y

功能

1. 解形如 $ax+by=c$ 的不定方程

可以直接通过exgcd的本来含义转化
原: 求$ax+by=gcd(a,b)$

当$c$可以被 $gcd(a,b)$ 整除时，则此方程有整数解，设 $m=\frac{c}{gcd(a,b)}$，则可以得一组特解 $mp,mq$ ( $p,q$ 为exgcd(a,b,p,q)的值)，设 $gcd(a,b)=g$

在解 $mp,mq$ 成立的情况下，解 $mp+b,mq-a$ 也成立，所以可以通过取模的方法求出 $x$ 或 $y$ 的最小值，$x$ 的最小值为 $mp$%$\frac{b}{g}$，$y$ 的最小值为 $mqmod\frac{a}{g}$

注意，在实际使用中，exgcd 并不能处理 $a,b$ 是负数的情况，当 $a,b$ 是负数时，一般根据题意采取等价的取相反数做法

在实际的取模中，最好加上多倍的模数，避免负数