exgcd

什么是exgcd

exgcd 是用来求解不定方程、逆元等问题的工具

可以求解方程$$ax+by=\gcd(a,b)$$并返回 \(\gcd\) 值

代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
  if(b == 0){
    x = 1; y = 0; //ax = gcd(a, 0) = a
    return a;
  }
  int result = exgcd(b, a % b, x, y);
  int tp = x;
  x = y;
  y = tp - a / b * y; //见说明
  return result; //gcd
}

说明

\(x,y\) 的求值方法

• 设\(a'=b,b'=a \bmod b\)
• \(a'x+b'y=gcd(a',b')\)
• 根据一般 \(\gcd\) 的方法可知 \(\gcd(a,b) = \gcd(a',b')\)
• \(\therefore\) \(a'x+b'y=\gcd(a,b)\)
• \(bx+(a \bmod b)y=\gcd(a,b)\)
• \(\because a \bmod b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b\) (以下下取整除用 \(/\) 表示)
• \(\therefore bx+(a- a / b \times b)y=\gcd(a,b)\)
• \(\therefore\)提取\(-a / b \times by\) 得

• \[b(a/b \times y) + ay= \gcd(a,b) \]

因此对应原来x, y的就是y, x-a/b*y

功能

1. 解形如 \(ax+by=c\) 的不定方程

可以直接通过exgcd的本来含义转化
原: 求\(ax+by=gcd(a,b)\)

当\(c\)可以被 \(gcd(a, b)\) 整除时，则此方程有整数解，设 \({m}={{c}\over{gcd(a,b)}}\)，则可以得一组特解 \(mp,mq\) ( \(p,q\) 为exgcd(a,b,p,q)的值)，设 \(\gcd(a,b) = g\)

在解 \(mp,mq\) 成立的情况下，解 \(mp+b,mq-a\) 也成立，所以可以通过取模的方法求出 \(x\) 或 \(y\) 的最小值，\(x\) 的最小值为 \(mp\)%\(b \over g\)，\(y\) 的最小值为 \(mq \bmod {a \over g}\)

注意，在实际使用中，exgcd 并不能处理 \(a,b\) 是负数的情况，当 \(a,b\) 是负数时，一般根据题意采取等价的取相反数做法

在实际的取模中，最好加上多倍的模数，避免负数