Codeforces Global Round #12
Codeforces Global Round #12
C. Errich-Tac-Toe
考虑对所有格子按 \((i + j)\bmod 3\) 分类。
选取两个类，一类中 O 全部变成 X，一类中 X 全部变成 O。
考虑连续的三个棋子，必定被包含在 \(3\) 个类中，且不会出现连续的 \(3\) 个相同。
E. Capitalism
将 \(a_i\) 奇偶分类，容易发现原图是二分图。
构造差分约束。
- 对于有向边 \(u \to v\)，构造两条边 \((u, v, 1), (v, u, -1)\)，即保证了 \(a_u = a_v +1\)。
- 对于无向边 \((u, v)\)，构造两条边 \((u, v, 1), (v, u, 1)\)，即保证了 \(|a_u - a_v| \le 1\)，同时在二分图上最短路保证了 \(a_u \neq a_v\)，可以满足条件。
那么先判二分图，然后用 Floyd 求最短路，有负环则无解，否则令最长路径端点 \(u\)，\(a_u = 0\)，其他取到 \(a\) 的最短路即可。
F. The Struggling Contestant
有解的充要条件是众数出现次数 \(\le \left\lceil {\frac n2} \right\rceil\)。
在满足 \(a_i = a_{i+1}\) 的 \((i, i + 1)\) 间加分隔符，设划分成了 \(k\) 个连续段。
需要重排连续段，使得两两之间可以连接，充要条件是出现最多的端点出现次数 \(cnt \le k +2\) 次。
证明：
- 对于 \(k = 0, cnt = 2\) 显然成立；
- 对于 \(k > 0, cnt \le k - 2\)，可以将一个出现次数最多的端点与另一个端点之间连接，使 \(n \leftarrow n - 1, k \leftarrow k - 1\)。
所以判断有解后，一定存在 \(i\)，使 \((i, i+ 1)\) 不同且均不为众数（否则必定无解），可以通过拆开这样的对使得 \(k \leftarrow k + 1, cnt \leftarrow cnt + 2\)，因此答案为 \(k + \max\{0, cnt - k - 2\}\)。
G. Communism
咕
updated @ 2021.11.16
口胡
考虑字母合并形成一棵树，设 \(dp(S)\) 为是否可以将 \(S\) 内的字母挂到一个 \(S\) 之外的任意根上（不妨记为 \(r\)）。
有两种情况：
- \(r\) 只有一个孩子，则 \(S\) 整体必须合法，且可以找出一个根 \(t\)，满足 \(dp(S \setminus \{t\})\) （将其余点挂到 \(t\) 上）；
- \(r\) 有多个孩子，则将 \(S\) 裂成两个子集分别挂在 \(r\) 上（多次裂开即可处理大于 \(2\) 叉）；
裂成相交的段不优（证明见官方题解），所以可以直接排序后 DP。
H. Multithreading
Easy Version
考虑贪心求解。我们每次将相邻的两个 w 或 b 连一条边并删掉，剩下来的一定黑白交替。
给序列中每个点赋上 \((-1)^i\) 的权值，那么答案为黑色（或白色）权值和绝对值的一半，因为这样中间一段偶数不影响答案（和为 \(0\)，且不影响两边奇偶性），而中间出现一段奇数会改变奇偶性，如 wwwbwwwb，w 的权值为 \(2\)。
考虑先给 ? 在奇数位置的填白，偶数位置填黑，然后选择一个子集翻转，可以发现每次翻转一个元素会使上述权值和减 \(1\)，因此用一个组合数计算即可。
Hard Version
咕咕
