线筛

o（n）的复杂度，筛出各种神奇。

 

bzoj2190仪仗队

 思路：线筛求欧拉函数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int phi[40001]={0},prime[40001]={0};
bool flag[40001]={false};
void work(int n)
{
    int i,j;
    for (i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!flag[i])
        {
            ++prime[0];prime[prime[0]]=i;phi[i]=i-1;
        }
        for (j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            flag[prime[j]*i]=true;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    int n,ans=0,i;
    scanf("%d",&n);
    work(n);
    for (i=2;i<n;++i)
        ans+=phi[i]*2;
    ans+=3;
    if (n==1) printf("1\n");
    else printf("%d\n",ans);
}

 

某次题目：

题目大意：输入n，求多少个正整数对x，y满足（1/x）+(1/y)=1/(n!)。

思路：对原式进行数学化简：n!=xy/(x+y)，再化简一下：x=yn!/(y-n!)，设a=n!，有x=ya/(y-a)，令b=y-a，x=a(a+b)/b=a^2/b+a。因为x、y、a、b都是整数，所以b是a^2的约数，所以答案就是a^2约数个数个。（code中用了一个小技巧，穷举质因数，求质因数在n！中出现的个数，再共享给答案。可能会快。）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define P 1000000007
#define maxnode 1000005
using namespace std;
bool flag[maxnode]={false};
int prime[maxnode]={0};
void yu(int n)
{
    int i,j;
    for (i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!flag[i])
            prime[++prime[0]]=i;
        for (j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            flag[i*prime[j]]=true;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    long long ans;
    int i,j,t,n,k;
    scanf("%d",&n);
    yu(n);ans=1;
    for (i=1;i<=prime[0];++i)
    {
        k=0;
        for (j=1;j*prime[i]<=n;++j)
        {
            t=j*prime[i];
            while(t%prime[i]==0)
            {
                ++k;t/=prime[i];
            }    
        }
        ans=(ans*(long long)(2*k+1))%P;
    }
    printf("%d\n",(int)ans);
}