高斯消元
今天，跟着HYM大神学习了高斯消元，思想很简单，不过用处很大，也有一些细节。
其实就是消元的思想，对n个方程不断消元，在解出一个未知数之后，回带求出其他未知数。如果回带时，我们发现方程左面为0，右面不为0，则无解；若左面为0，右面为0，则多解。
cogs1845||bzoj1013 球星空间生成器sphere
题目大意：给出n维空间内一个球上的n+1个点，求圆心坐标。
思路：比较裸的高斯消元，唯一就是自己建方程。设圆心坐标（a,b,c,d,...），我们发现，球上各点到圆心距离相等，于是就有连等式：(a-a1)^2+(b-b1)^2+(c-c1)^2+(d-d1)^2+...=(a-a2)^2+(b-b2)^2+(c-c2)^2+(d-d2)^2...=...=(a-an)^2+(b-bn)^2+(c-cn)^2+(d-dn)^2；选取等号左右的式子建方程，得到n个方程，求解就可以了。由题意可知，这里不需要考虑无解的情况。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; double a[100][100]={0},b[100]={0},c[100][100]; int main() { freopen("bzoj_1013.in","r",stdin); freopen("bzoj_1013.out","w",stdout); int n,i,j,k,maxn,maxi; double t; scanf("%d",&n); for (i=1;i<=n+1;++i) for (j=1;j<=n;++j) { scanf("%lf",&c[i][j]); c[i][j]*=1.0; } for (i=1;i<=n;++i) { t=0; for (j=1;j<=n;++j) { a[i][j]=2*(c[i][j]-c[i+1][j]); t+=c[i][j]*c[i][j]-c[i+1][j]*c[i+1][j]; } a[i][n+1]=t; } for (i=1;i<=n;++i) { if (a[i][i]==0) { for (j=i+1;j<=n;++j) if (a[j][i]!=0) { for (k=1;k<=n+1;++k) swap(a[i][k],a[j][k]); break; } } for (j=i+1;j<=n;++j) { t=a[j][i]/a[i][i]; for (k=1;k<=n+1;++k) a[j][k]-=a[i][k]*t; } } for (i=n;i>=1;--i) { b[i]=a[i][n+1]/a[i][i]; for (j=i-1;j>=1;--j) { a[j][n+1]-=a[j][i]*b[i]; a[j][i]=0; } } for (i=1;i<n;++i) printf("%0.3f ",b[i]); printf("%0.3f\n",b[n]); fclose(stdin); fclose(stdout); }
bzoj2337 XOR和路径
http://www.cnblogs.com/Rivendell/p/4734640.html
解异或方程组
bzoj1923 外星千足虫
题目大意：给定m个方程，有n个未知数，判断有无唯一解，若有求出最早在第几个方程处判断出的，并输出答案；无解就输出“Cannot Determine”。
思路：因为要求最早在哪求出解，所以一开始想二分一下，回来觉得会超时，就。。。了一下学长的博客，其实只需要在对第i个合法方程（第i个未知数前系数不为0）操作的时候，取max就可以了（这种思想要掌握）。这道题目中，只有0、1，所以可以用xor来计算。一开始狂wa，回来才发现，回带的时候，要判断几个不为0，否则xor后就呵呵了。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; struct use{ int num[1002],p; }a[2001],b; int n,m,ans=0,k; void gauss() { int i,j,k; bool f=false; for (i=1;i<=n;++i) { if (a[i].num[i]==0) { f=false; for (j=i+1;j<=m;++j) if (a[j].num[i]!=0) { swap(a[i],a[j]); f=true;break; } if (!f) { ans=0;return; } } ans=max(ans,a[i].p); for (j=i+1;j<=m;++j) { if (a[j].num[i]!=0) for (k=1;k<=n+1;++k) a[j].num[k]^=a[i].num[k]; } } for (i=n;i>=1;--i) { b.num[i]=a[i].num[n+1]/a[i].num[i]; for (j=i-1;j>=1;--j) { if (a[j].num[i]) { a[j].num[n+1]=a[j].num[n+1]^b.num[i]; a[j].num[i]=0; } } } } int main() { int i,j; char ch; scanf("%d%d",&n,&m); for (i=1;i<=m;++i) { scanf("%*c"); for (j=1;j<=n;++j) { scanf("%c",&ch); a[i].num[j]=ch-'0'; } scanf("%d",&a[i].num[n+1]); a[i].p=i; } gauss(); if (ans==0) printf("Cannot Determine\n"); else { printf("%d\n",ans); for (i=1;i<=n;++i) { if (b.num[i]==0) printf("Earth\n"); else printf("?y7M#\n"); } } }
bzoj3503 和谐矩阵
题目大意：给n*m的矩阵放0、1，要求一个人上下左右和自己中只有偶数个1，求一种合法方案。
思路：对n*m个位置列异或方程组，这个点四周和自己的未知数异或=0，然后就是解异或方程组了。这里会出现解出来都是0的情况，这是不合法的（题目要求不全为0），那我们就要在解方程的时候，如果回带时这个位置上的a[i][i]=0，说明这个位置是0是1都可以，我们就赋成1。
注意解异或方程组的方法。这里在判断那些0/1都行的点时，可以边做发现后面的这一位系数都是0的时候，就赋成1，同时还要把其他方程中的这个未知数的影响取消。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define maxnode 1605 using namespace std; struct use{ int num[maxnode]; }ai[maxnode]={0},bi; int tot=0,dx[5]={0,0,1,-1,0},dy[5]={1,-1,0,0,0}; void gauss() { int i,j,k; bool f=false; for (i=1;i<=tot;++i){ if (!ai[i].num[i]){ f=false; for (j=i+1;j<=tot;++j) if (ai[j].num[i]){ swap(ai[i],ai[j]);f=true;break; } if (!f){ bi.num[i]=1; for (j=1;j<=tot;++j) ai[j].num[tot+1]^=ai[j].num[i]; } } for (j=i+1;j<=tot;++j) if (ai[j].num[i]) for (k=1;k<=tot+1;++k) ai[j].num[k]^=ai[i].num[k]; } for (i=tot;i>=1;--i) if (!bi.num[i]){ bi.num[i]=ai[i].num[tot+1]/ai[i].num[i]; for (j=i-1;j>=1;--j) if (ai[j].num[i]){ ai[j].num[tot+1]^=bi.num[i];ai[j].num[i]=0; } } } int main() { int n,m,i,j,k,x,y; scanf("%d%d",&n,&m);tot=n*m; for (i=1;i<=n;++i) for (j=1;j<=m;++j) for (k=0;k<5;++k){ x=i+dx[k];y=j+dy[k]; if (x<=0||x>n||y<=0||y>m) continue; ai[(i-1)*m+j].num[(x-1)*m+y]=1; } gauss(); for (i=1;i<=n;++i){ for (j=1;j<=m;++j) printf("%d ",bi.num[(i-1)*m+j]); printf("\n"); } }
bzoj2466 树
题目大意：给定一棵树，所有点是0，每次操作可以把u这个点以及和它相邻的状态置反，问所有点变成1的最少操作次数。
思路：n<=100，可以建出异或方程组，其中有一些变量的值可0可1，记录下来，然后暴力枚举这些变量的状态，在gauss回带就可以了。
注意：通过消三角矩阵求出无关元，枚举无关元状态之后在回带，因为无关元的状态会影响其他变量的取值，但无关元之间互不影响。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 105 using namespace std; int ai[N][N],bi[N],zh[N],n,ans,co[N],cc[N][N]; void gauss(){ int i,j,k;bool f; for (i=1;i<=n;++i){ if (!ai[i][i]){ for (f=false,j=i+1;j<=n&&!f;++j) if (ai[j][i]) for (f=true,k=1;k<=n+1;++k) swap(ai[i][k],ai[j][k]); if (!f){zh[++zh[0]]=i;continue;} }for (j=i+1;j<=n;++j) if (ai[j][i]) for (k=i;k<=n+1;++k) ai[j][k]^=ai[i][k]; } } void dfs(int ii,int cnt){ if (cnt>=ans) return; if (ii>zh[0]){ int i,j,ci=0; for (i=1;i<=n;++i) for (j=1;j<=n+1;++j) cc[i][j]=ai[i][j]; for (i=n;i;--i){ if (!cc[i][i]) bi[i]=co[i]; else bi[i]=cc[i][n+1]/cc[i][i]; for (j=i-1;j;--j) if (cc[j][i]) cc[j][n+1]^=bi[i]; }for (i=1;i<=n;++i) ci+=bi[i]; ans=min(ans,ci);return; }dfs(ii+1,cnt); co[zh[ii]]=1;dfs(ii+1,cnt+1);co[zh[ii]]=0; } int main(){ int i,j,u,v,cnt; while(scanf("%d",&n)==1){ if (!n) break;ans=n; memset(ai,0,sizeof(ai)); for (i=1;i<n;++i){ scanf("%d%d",&u,&v); ai[u][v]=ai[v][u]=1; }for (i=1;i<=n;++i) ai[i][i]=ai[i][n+1]=1; zh[0]=0;gauss();dfs(1,0); printf("%d\n",ans); } }
