【核反应堆物理分析】2-中子慢化理论：从高能到低能

中子慢化理论：从高能到低能

😊 1 中子弹性散射过程

慢化过程：中子由于散射碰撞而降低速度的过程。

慢化剂轻核的非弹性散射阈能很高，数量级在几个MeV。非弹性散射对E>0.1MeV的裂变中子才其主要作用。裂变中子经过几次碰撞后，能量就降低到非弹性散射裂变阈能之下，故中子慢化过程主要靠中子与慢化剂和的弹性散射进行。

中子慢化能谱：慢化过程中堆内中子通量密度按能量具有的稳定分布$\varphi (E)$。

😂 1.1 中子弹性散射过程

弹性碰撞的研究坐标系：

• 实验室系，L系，固定在地面上；
• 质心坐标系，C系，固定在中子-靶核质量中心上。

基本假设：

1. 发生碰撞之前，与中子相比，慢化剂的核相对L系静止；
2. 慢化剂核不被束缚在物相分子之中；
3. 每次中子与核的碰撞都使中子能量降低。

弹性散射时能量的变化：

• 首先在C系中观察：质心速度$V_{\text{CM}}$，由系统动量守恒得：

  $$V_{\text{CM}}(m+M)=m{v}_l+M{V}_l$$

  用$m$和$M$表示中子和靶核的质量，用$v_l$和$V_l$表示中子和靶核的L系速度，$A=M/m$近似认为上靶核的质量数。

  由于靶核L系静止，故$V_1=0$，故C系的碰前中子和靶核速度为：

  $$\begin{gathered} v_c=v_l-V_{CM}=\frac{A}{A+1}{v}_l \\ {V}_c=-V_{CM}=-\frac{1}{1+A}{v}_l \end{gathered}$$

  C系中，靶核和中子的总动量为0：

  $$p_c=m{v}_c+M{V}_c=\frac{mM}{m+M}{v}_l-\frac{mM}{m+M}{v}_l=0$$

• 碰后的中子和靶核速度用$v^{\prime }$和$V^{\prime }$表示，根据动能守恒和动量守恒有：

  $$\begin{gathered} \frac{1}{2}m{v}_c^{\prime }+\frac{1}{2}M{V}_c^{\prime }=\frac{1}{2}m{v}_c^{\prime }+\frac{1}{2}M{V}_c^{\prime } \\ m{v}_c^{\prime }+M{V}_c^{\prime }=0 \end{gathered}$$

  联立求解到：

  $$\begin{gathered} v_c^{\prime }=\frac{A}{A+1}{v}_l \\ {V}_c^{\prime }=\frac{1}{A+1}{v}_l \end{gathered}$$

  结论1：在C系中，碰撞前后中子和靶核的运动速度大小不变，而方向发生变化。

• 在L中观察：用${\theta }_c$和${\theta }_l$表示C系和L系的中子散射角，由余弦定理可得：

  $$v_l^{\prime 2}=V_{\text{CM}}^2+v_c^{\prime 2}+2v_c^{\prime }{V}_{\text{CM}}\cos {\theta }_c$$

  由式(1)和式(5)，可以得到：

  $$v_l^{\prime 2}=\frac{v_l^2(A^2+2A\cos {\theta }_c+1)}{(A+1{)}^2}$$

  故在L系中，碰撞前后中子能量之比为：

  $$\frac{E^{\prime }}{E}=\frac{v_l^{\prime 2}}{v_l^2}=\frac{A^2+2A\cos {\theta }_c+1}{(A+1{)}^2}$$

  若令：

  $$\alpha ={\left(\frac{A-1}{A+1}\right)}^2$$

  故有：

  $$E^{\prime }=\frac{1}{2}[(1+\alpha )+(1-\alpha )\cos {\theta }_c]E$$

  结论2：当${\theta }_c=0^{\circ }$时，$E^{\prime }\to E_{max}^{\prime }=E$，中子碰撞前后没有能量损失。

  结论3：当${\theta }_c={180}^{\circ }$时，$E^{\prime }\to E_{min}^{\prime }=\alpha E$。

  结论4：中子碰撞一次最大损失能量为：$\mathrm{\Delta }{E}_{max}=(1-\alpha )E$。$E^{\prime }$的区间只能为$[\alpha E,E]$。

  结论5：靶核数越小，中子一次碰撞损失能量越大，慢化剂性能越好，故应该采用轻核元素作为慢化剂。

• L系和C系的散射角关系：如下图所示：

  $$\begin{gathered} v_l^{\prime }\cos {\theta }_l=V_{\text{CM}}+v_c^{\prime }\cos {\theta }_c \\ \cos {\theta }_l=\frac{1+A\cos {\theta }_c}{A+1}\frac{v_l}{v_l^{\prime }}=\frac{A\cos {\theta }_c+1}{\sqrt{A^2+2A\cos {\theta }_c+1}} \end{gathered}$$

  消去$\cos {\theta }_c$，可以得到L系中的散射角余弦与碰撞前后中子能量的关系：

  $$\cos {\theta }_l=\frac{1}{2}[(A+1)\sqrt{\frac{E^{\prime }}{E}}-(A-1)\sqrt{\frac{E}{E^{\prime }}}]$$

😷 1.2 散射后中子能量的分布

C系内碰撞后中子散射角在${\theta }_c$附近$\text{d}{\theta }_c$的概率：$f({\theta }_c)\text{d}{\theta }_c$.

散射函数：$f(E\to E^{\prime })$，用$f(E\to E^{\prime })\text{d}{E}^{\prime }$表示碰前中子能量为$E$，碰后中子能量在$E^{\prime }$附近$\text{d}{E}^{\prime }$的概率。

补充结论6：由于碰后的中子能量与中子散射角是一一对应的，如式(10)，所以其两者的概率也是相等的：

$$f(E\to E^{\prime })\text{d}{E}^{\prime }=f({\theta }_c)\text{d}{\theta }_c=-\frac{\text{d}{E}^{\prime }}{(1-\alpha )E}{E}^{\prime }\in [\alpha E,E]$$

由于散射后的能量分布是均匀的，故有：

$${\int }_E^{\alpha E}f(E\to E^{\prime })\text{d}{E}^{\prime }=1$$

对数能降：参考能量与中子能量之比的自然对数值

$$u=\ln \frac{E_0}{E}$$

其实，$E_0$为选定的参考能量，一般取裂变中子平均能量$E_0=2$MeV。中子能量减少越多，中子对数能降越大。

一次碰撞后对数能降的增加量为：

$$\mathrm{\Delta }u=u^{\prime }-u=\ln \frac{E}{E^{\prime }}$$

最大对数能降：为发生一次碰撞后，能出现的最大的对数能降：

$$\gamma =\mathrm{\Delta }{u}_{max}=\ln \frac{1}{\alpha }$$

💥 1.3 平均对数能降

平均对数能降：每次碰撞中子能量的自然对数的平均变化值：

$$\xi =\overline{\ln \frac{E}{E^{\prime }}}=\overline{\mathrm{\Delta }u}$$

在质心系内散射各相同性的情况下：

$$\xi ={\int }_E^{\alpha E}(\ln E-\ln E^{\prime })f(E\to E^{\prime })\text{d}{E}^{\prime }={\int }_{\alpha E}^E\ln \frac{E}{E^{\prime }}\frac{\text{d}{E}^{\prime }}{(1-\alpha )E}$$

积分后得：

$$\xi =1+\frac{\alpha }{1-\alpha }\ln \alpha =1-\frac{(A-1{)}^2}{2A}\ln \left(\frac{A+1}{A-1}\right)$$

当$A>10$时可以采用下列近似式：

$$\xi \approx \frac{2}{A+2/3}$$

平均碰撞次数：为中子从初始能量$E_1$慢化到$E_2$所需要的平均碰撞次数：

$$N_c=\frac{\ln E_1-\ln E_2}{\xi }=\frac{\ln \frac{E_1}{E_2}}{\xi }$$

💦 1.4 平均散射角余弦

平均散射角余弦：一次碰撞的散射角分布的平均值：C系中：

$${\overline{\mu }}_c={\int }_0^{\pi }\cos {\theta }_{c}f({\theta }_c)\text{d}{\theta }_c=0$$

结论7：C系中的平均散射角余弦为0，因为在C系中的散射是各相同性的。

L系中：

$${\overline{\mu }}_0={\int }_0^{\pi }\cos {\theta }_{l}f({\theta }_l)\text{d}{\theta }_l=\frac{2}{3A}$$

结论8：L系中散射各相异性，中子沿原来方向运动的概率较大；靶核质量愈小，散射各相异性概率愈大。

结论9：靶核质量数$A\to \mathrm{\infty }$时，${\overline{\mu }}_l\to 0$，系统质心移动到靶核上，L系散射各向同性。

💫 1.5 慢化剂的选择

慢化剂的选择要求：

1. 较大的宏观散射截面${\mathrm{\Sigma }}_s$；
2. 较大的对数能降$\xi$；
3. 较大的慢化比$\xi {\mathrm{\Sigma }}_s/{\mathrm{\Sigma }}_a$。

慢化能力：宏观散射截面与对数能降的乘积；

慢化比：慢化能力比宏观吸收截面，综合考虑慢化剂的强慢化能力和弱吸收能力。

动力堆常用的慢化剂：

1. 重水，慢化比最大，但是价格昂贵，可以直接用天然铀做核燃料；
2. 轻水，慢化能力大，慢化比小，但是价格低廉，需要用浓缩铀；
3. 石墨，慢化比较大，慢化能力小，需要有庞大的堆芯体积。
   
   

🐧 1.6 中子平均寿命

慢化时间：裂变中子由裂变能$E_0$慢化到热能$E_{\text{th}}=0.0253$eV需要的平均时间$t_s$，其估计值为：

$$t_s=\sqrt{2}\frac{{\overline{\lambda }}_s}{\xi }[\frac{1}{\sqrt{E_{\text{th}}}}-\frac{1}{\sqrt{E_0}}]$$

扩散时间：快中子慢化到热中子后，在介质运动至被俘获前的运动时间$t_d$，其估计值为：

$$t_d(E)=\frac{1}{{\mathrm{\Sigma }}_a(E)v}$$

中子平均寿命：快中子从裂变产生，到慢化成热中子，到被俘获的平均时间

$$l=t_s+t_d$$

🐙 2 中子慢化能谱

慢化密度：在$\overrightarrow{r}$处每秒每单位体积内慢化到能量$E$以下的中子数。

• 在$\overrightarrow{r}$处能量为$E^{\prime }$的中子每秒发生散射的次数为：${\mathrm{\Sigma }}_s(\overrightarrow{r},E^{\prime })\varphi (\overrightarrow{r},E^{\prime })$；

• $\overrightarrow{r}$处每秒每单位体积内能量为$E^{\prime }$的中子慢化到$E$以下的中子数（平均期望）为：

  $${\int }_E^0{\mathrm{\Sigma }}_s(\overrightarrow{r},E^{\prime })f(E^{\prime }\to E)\varphi (\overrightarrow{r},E^{\prime })\text{d}E$$

  故慢化密度为$E^{\prime }>E$的所有能量中子慢化到$E$以下的中子数总和：

  $$\begin{gathered} q(\overrightarrow{r},E)={\int }_E^{\mathrm{\infty }}\text{d}{E}^{\prime }{\int }_E^0{\mathrm{\Sigma }}_s(\overrightarrow{r},E^{\prime })f(E^{\prime }\to E)\varphi (\overrightarrow{r},E^{\prime })\text{d}E \\ ={\int }_E^{E/\alpha }\text{d}{E}^{\prime }{\int }_{\alpha E^{\prime }}^E\frac{{\mathrm{\Sigma }}_s(\overrightarrow{r},E^{\prime })\varphi (\overrightarrow{r},E^{\prime })}{(1-\alpha )E^{\prime }}\text{d}E \\ ={\int }_E^{E/\alpha }{\mathrm{\Sigma }}_s(\overrightarrow{r},E^{\prime })\varphi (\overrightarrow{r},E^{\prime })\frac{E-\alpha E^{\prime }}{(1-\alpha )E^{\prime }}\text{d}E \end{gathered}$$

  慢化密度也是$\overrightarrow{r}$处被慢化并通过某给定能量$E$的慢化率。

$\text{d}{E}^{\prime }$能量间隔内的中子被散射到$\text{d}E$间隔的数目等于${\mathrm{\Sigma }}_a(E^{\prime })\varphi (E^{\prime })f(E^{\prime }\to E)\text{d}E$。故这部分中子数为：

$$\text{d}E{\int }_{\mathrm{\infty }}^E{\mathrm{\Sigma }}_s(E^{\prime })\varphi (E^{\prime })f(E^{\prime }\to E)\text{d}{E}^{\prime }$$

稳态无限介质内的中子慢化方程为：

$${\mathrm{\Sigma }}_t(E)\varphi (E)={\int }_{\mathrm{\infty }}^E{\mathrm{\Sigma }}_s(E^{\prime })\varphi (E^{\prime })f(E^{\prime }\to E)\text{d}{E}^{\prime }+S(E)$$

其意为：每秒、每单位体积内，散射到能量微元$\text{d}E$内的中子数与源中子数之和应该等于从这个能量单元散射出去和被吸收的中子总数。

🍁 2.1 无吸收单核素无限介质

在慢化区（1eV~0.1MeV）内的弹性散射慢化问题，中子慢化方程为：

$${\mathrm{\Sigma }}_t(E)\varphi (E)={\int }_E^{E/\alpha }\frac{{\mathrm{\Sigma }}_s(E^{\prime })\varphi (E^{\prime })}{(1-\alpha )E^{\prime }}\text{d}{E}^{\prime }$$

这时$E<<\alpha E_0$情况，其渐进解形式为：

$$\varphi (E)=\frac{C}{E}=\frac{q(E)}{\xi {\mathrm{\Sigma }}_{s}E}$$

对于无吸收情况，单能源项，$q(E)=S_0$，因此有：

$$\varphi (E)=\frac{S_0}{\xi {\mathrm{\Sigma }}_{s}E}$$

🌗 2.2 无吸收混合物无限介质

无吸收混合物无限介质的中子通量密度的慢化能谱分布表示成：

$$\varphi (E)=\frac{q(E)}{\overline{\xi }{\mathrm{\Sigma }}_{s}E}$$

无吸收介质中慢化区慢化能谱近似分布服从1/E分布，或称之为费米谱分布。通常认为其也是反应堆内慢化区的中子能谱的近似。

🌌 2.3 无限介质弱吸收情况

无限介质弱吸收情况，认为宏观吸收截面比宏观散射截面小很多，在$[E-\text{d}E,E]$的间隔中，慢化密度由于被中子被吸收减小了$\text{d}t$，应为在$\text{d}E$被吸收的中子数，因此：

$$\text{d}E={\mathrm{\Sigma }}_s\varphi (E)\text{d}E$$

弱吸收情况的$\varphi (E)$基本可以认为和无吸收是相同。可以用（35）式近似表示。

其慢化密度有：

$$q(E)=S_0\exp (-{\int }_E^{E_0}\frac{{\mathrm{\Sigma }}_a}{\overline{\xi }{\mathrm{\Sigma }}_s}\frac{\text{d}{E}^{\prime }}{E^{\prime }})$$

其逃脱辐射俘获概率为：

$$p(E)=\frac{q(E)}{S_0}=\exp [-{\int }_E^{E_0}\frac{{\mathrm{\Sigma }}_a(E)}{\overline{\xi }{\mathrm{\Sigma }}_s}\frac{\text{d}{E}^{\prime }}{E^{\prime }}]$$

⛅ 3 热中子能谱

分界能：热中子的分界能量$E_c$，有时也记为$E_{\text{th}}$。压水堆的分界能为0.625eV。

与介质原子处于热平衡状态的热中子满足麦克斯韦-玻尔兹曼分布：

$$N(E)=\frac{2\pi }{(\pi kT{)}^{3/2}}{e}^{E/kT}{E}^{1/2}$$

热中子能谱的分布形式和介质原子核的麦克斯韦谱的分布形式并不相同：

1. 反应堆中的热中子都是由高能区慢化而来，逐步达到热平衡，故高能区中子数目多一些。
2. 介质也会吸收中子，有一部分中子未达到热平衡就被吸收，故低能中子份额较少。

以上两原因的结果使热中子能谱向高能区偏移，其平均能量和最概然能量都比麦克斯韦谱要高，这一现象称为热中子谱的硬化。

中子温度：参照气体动力学的介质温度，堆内中子的温度。

介质温度：对应介质原子核的温度。

两者由如下的关系：

$$T_n=T_M(1+C\frac{{\mathrm{\Sigma }}_a(k{T}_M)}{\xi {\mathrm{\Sigma }}_s})$$

C为比例常数，铀-水栅格的C=1.4。

栅元或介质内各元素核的吸收截面服从$1/v$律：

$${\mathrm{\Sigma }}_a(k{T}_M)={\mathrm{\Sigma }}_a(0.0253)\sqrt{\frac{293}{T_M}}$$

在热中子反应堆中，堆内中子能谱分布在高能区负荷裂变中子铺，慢化能区符合1/E律，热能区近似符合麦克斯韦谱。

热中子能谱平均热中子截面为：

$$\overline{\sigma }=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{E_c}\sigma (E)N(E)v\text{d}E}}{{\displaystyle {\int }_0^{E_c}N(E)v\text{d}E}}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{E_c}\sigma (E)N(E)\sqrt{E}\text{d}E}}{{\displaystyle {\int }_0^{E_c}N(E)\sqrt{E}\text{d}E}}$$

吸收截面${\sigma }_a$服从$1/v$律：

$${\sigma }_a(E)\sqrt{E}={\sigma }_a(0.0253)\sqrt{0.0253}$$

热中子平均截面的计算公式：

$${\overline{\sigma }}_a=\frac{{\sigma }_a(0.0253)}{1.128}\sqrt{\frac{293}{T_n}}$$

对于不符合$1/v$律的元素，需要加入一个修正因子：

$${\overline{\sigma }}_a=\frac{{\sigma }_a(0.0253)}{1.128}\sqrt{\frac{293}{T_n}}{g}_a$$