【核反应堆物理分析】1-反应堆核物理基础：简单单的中子物理学

反应堆核物理基础：简单单的中子物理学

🌟 1. 中子与原子核的作用

💥 1.1 中子与中子核反应

反应堆核物理，实际上就是堆内中子的物理学。中子是组成原子核的粒子之一，其静止质量\(m\)稍大于质子的静止质量。通常在工程上取中子的静止质量为1u。中子不带电荷。

在反应堆物理分析中，中子一般按照能量分成三类：快中子能量大于0.1MeV、热中子能量小于1eV，中能中子能量在1eV至0.1MeV之间。

概况的讲，堆内中子与原子核的相互作用方式有：势散射、直接相互作用和复合核的形成。其中;

• 势散射是最简单的核反应堆，是中子波与核表面势相互作用的结果，中子并未进入靶核。散射前后靶核的内能没有变化。势散射是一种弹性散射，过程满足中子和靶核系统的动量守恒、动能守恒。

• 直接相互作用是入射中子直接与靶核内谋核子碰撞，使其从核里发射出来，而中子却留在了靶核内的核反应。如果从靶核里发射出来的核子是质子，就是\((n,p)\)反应。如果从核里发射出来的核子是中子，同时靶核由激发态返回基态放出\(\gamma\)射线，就是直接非弹性散射过程。

• 复合核的形成是入射中子被靶核\(^A_ZX\)吸收，形成一个新的核——复合核\([^{A+1}_ZX]^*\)。中子和靶核的质心坐标系中的总动能\(E_e\)就转化为复合核的内能，同时中子与靶核的结合能\(E_b\)也传给了复合核，使复合核处于基态以上的激发态\(E_e+E_b\)。复合核可以在激发态停留一段时间，由于核内的无规律碰撞，激发能在核子间多次交换，使某个核子得到足以逸出系统的能量时，处于激发态的复合核放出一个粒子而衰变，并留下一个余核（或反冲核）。

  复合核形成与衰变分解过程：

  \[\ce n+靶核[\ce{^A_ZX}]\to复合核[\ce{^{A+1}_ZX}]^*\to反冲核+散射粒子 \]

堆内常见中子核反应的类型：

• \((n,p)\)，\(\ce{^A_ZX}+\ce{^1_0n} \to \ce{^A_{Z-1}Y}+\ce{^1_1H}\)
• \((n,\alpha)\)，\(\ce{^A_ZX}+\ce{^1_0n} \to \ce{^{A-3}_{Z-2}Y}+\ce{^4_2He}\)
• \((n,n)\)，共振弹性散射 \(\ce{^A_ZX}+\ce{^1_0n} \to \ce{^A_{Z}X}+\ce{^1_0n}\)
• \((n,\gamma)\)，辐射俘获 \(\ce{^A_ZX}+\ce{^1_0n} \to \ce{^{A+1}_{Z}X}+\gamma\)
• \((n,n')\)，共振非弹性散射 \(\ce{^A_ZX}+\ce{^1_0n} \to \ce{^A_{Z}X}+\ce{^1_0n}+\gamma\)
• \((n,f)\)，核裂变反应 \(\ce{^A_ZX}+\ce{^1_0n} \to \ce{^{A_1}_{Z_1}Y}+\ce{^{A_2}_{Z_2}W}+\nu\ce{ ^1_0n}\)

当入射中子能量具有某些特征值，使复合核激发态接近于某个量子能级时，中子被靶核吸收的概率显著增加，这种称为共振，入射中子能量为共振能。共振又可以分为共振吸收和共振散射。

综上，我们可以根据中子和靶核的作用结果的不同，将中子与原子核的作用分为两类：

• 散射：包括弹性散射和非弹性散射；
• 吸收：包括辐射俘获，核裂变，\((n,\alpha)\)，\((n,p)\)。
  
  

✨ 1.2 中子散射

散射是中子慢化的主要过程，因碰撞而改变运动方向和能量的过程。

1. 非弹性散射：只有入射中子能量高于靶核的第一激发态能量才能激发，有阈能特点。轻核激发态能量高、重核激发态能量低。
2. 弹性散射：在所有能量范围内都能发生。有形成复合核的过程称为共振弹性散射，无复合核形成的过程称为势散射。

在热中子反应堆内，对中子从高能慢化到低能的过程起主要作用是弹性散射。

😇 1.3 中子吸收

入射粒子与物质相互作用后，不再作为自由粒子而存在。主要的吸收反应有：\((n,p)\)、\((n,f)\)、\((n,\alpha)\)、\((n,\gamma)\)。

其中辐射俘获\((n,\gamma)\)可以在全能区反应，低能中子与中等质量和重核易发生该反应。堆内重要的俘获反应有：

\[\ce{^238_92 U}+\ce{^1_0n}\to \ce{^239_92U}+\gamma \]

反应堆运行过程，堆内冷却剂和慢化剂经过高能中子照射后，发生的\((n,p)\)核反应：

\[\ce{^16_8O}+\ce{^1_0n}\to \ce{^16_7N}+\ce{^1_1H} \]

热中子也会和\(\ce{^10 B}\)发生\((n,\alpha)\)吸收反应：

\[\ce{^10_5 B}+\ce{^1_0n}\to\ce{^7_3Li}+\ce{^4_2He} \]

上面的反应经常用来探测堆内热中子，并且\(\ce{^10_5B}\)也广泛用作热中子反应堆的反应性控制材料。

😶 1.4 核裂变同位素

在各种能量中子作用下均可发生裂变，并且在低能中子作用下发生裂变法可能性较大的核素，称为易裂变同位素，常见的有：\(\ce {^233U}\)、\(\ce{^235U}\)、\(\ce{^239Pu}\)、\(\ce{^241Pu}\)。

在能量高于某一阈值的中子作用下才能发生裂变的核素，称为可裂变同位素，常见的有：\(\ce{^232Th}\)、\(\ce{^238U}\)、\(\ce{^240Pu}\)。

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🎆 2. 中子截面与核反应率

🎅 2.1 核反应截面与几个重要概念

核子密度，指单位体积内的原子核数，定义式为：

\[N=\frac{\rho N_0}{A} \]

假设有一束强度为\(I\)的单能中子束，垂直入射到单位面积薄靶上，厚度为\(\Delta x\)，靶中单位体积原子核数为\(N\)，靶后中子束强度降至\(I'\)，发生反应的中子数为：\(\Delta I=I'-I\)。有如下关系式：

\[\Delta I=-\sigma IN\Delta x \]

其中的比例系数\(\sigma\)表征了一个中子与一个靶核发生发生某种反应的平均概率大小，由于其由面积的量纲（\(L^2\)），所以称为微观截面。

\[\sigma=\frac{-\Delta I}{IN\Delta x}=\frac{-\Delta I/ I}{N\Delta x} \]

其中，\(\Delta I/I\)为反应中子所占份额，\(N\Delta x\)为对应单位入射面积上靶核数。

由于微观截面的值一般较小，在实际应用中，通常用bar（b）来做为单位， \(1b=10^{-28}m^2\)。截面是可以线性相加：

\[\sigma_t=\sigma_s+\sigma_a\\ \sigma_s=\sigma_e+\sigma_{in}\\ \sigma_a=\sigma_\gamma+\sigma_f+\sigma_{n,a}+\cdots\\ \]

宏观截面，指一个中子与单位体积内所有原子核发生反应平均概率大小，表达式为：

\[\Sigma=\sigma N=\frac{-\text dI/I}{\text dx} \]

宏观截面的单位是\(m^{-1}\)，国际文献上习惯上使用\(cm^{-1}\)。

宏观截面也表示一个中子在介质中穿行单位距离与核反应发生相互作用的概率大小。

混合物或化合物的宏观截面可以线性相加：

\[\Sigma_x=\sum_i N_i\sigma_{xi} \]

化合物中若每个分子中含第\(i\)种元素的原子数目为\(\nu_i\)，则化合物中第\(i\)种元素的核子密度为：

\[N_i=\nu_i\frac{\rho N_0}{M} \]

平均自由程指中子在介质中运动时，与原子核两次相互作用之间穿行的平均距离。其定义为该介质宏观截面的倒数：

\[\lambda=\bar x=\int_0^\infty xP(x)\text dx=\Sigma\int_0^\infty xe^{-\Sigma x}\text dx=\frac{1}{\Sigma} \]

这里有一个重要的式子，中子在穿行距离区间\([x,x+\text dx]\)中发生反应的概率为\(\Sigma \text dx\)，一个中子穿过\(x\)长的路径仍未发生核反应的概率为\(e^{-\Sigma x}\)。如果用\(P(x)\text dx\)（\(P(x)\)称为首次反应概率分布函数）表示一个中子穿行\(x\)距离后还未发生核反应，而在区间\([x,x+\text dx]\)中发生首次核反应的概率为：

\[P(x)\text dx=e^{-\Sigma x}\Sigma\text dx \]

不同类型的平均自由程可以通过宏观截面相加：

\[\frac{1}{\lambda_t}=\frac{1}{\lambda_a}+\frac{1}{\lambda_s} \]

核反应率为每秒每单位体积内中子与介质原子核发生作用的总次数（统计平均值）：

\[R=nv\Sigma \]

其中\(v\)为中子速率，\(n\)为中子密度。

中子通量密度，是反应堆物理分析中最常用到的一个量，其含义是单位体积内所有中子在单位时间内穿行的距离总和。中子通量密度的单位是（\(\#/(cm^2\cdot s)\)），定义式为：

\[\phi=n v \]

“中子通量密度”有时称为“中子通量”，或者“通量（flux）”，但这是不严谨的，因为通量应该是单位时间内流经单位面积的某物理量，如热通量为热量单位时间内通过单位面积的量度，并且通量是矢量。中子通量密度是标量，只有在相同运动方向的平行中子束采有“通量”的含义，中子通量密度只能表示该点沿空间各个方向微分中子束强度之和。

中子注量率，在空间\(\vec r\)处单位时间内进入以该点为中心的单位横截面的小球体内的中子数称为该点的中子注量率，中子注量为一定时间长度\(\Delta t\)内中子注量率对时间的积分：

\[F(\vec r)=\int_{t_1}^{t_1+\Delta t}\phi(\vec r,t)\text dx \]

这里可以发现，中子注量率和中子通量密度是一致的。

在热中子动力堆中，某处中子通量密度的大小，可以反映出该处核反应率的大小，也反映出堆的热功率水平。

中子能谱分布，指在反应堆中，中子数关于能量E的分布。反应堆中总的中子通量密度为：

\[\Phi=\int_0^\infty n(E)v(E)\text dE=\int_0^\infty \phi(E)\text dE \]

平均宏观截面（也称为等效截面）与总的中子通量密度乘积即为核反应率：

\[R=\int_{\Delta E}\Sigma(E)\phi(E)dE=\bar \Sigma\Phi\\ \bar E=\frac{\displaystyle\int_{\Delta E}\Sigma(E)\phi(E)\text dE}{\displaystyle \int_{\Delta E}\phi(E)\text dE}=\frac{R}{\Phi} \]

🎊 2.2 截面随能量的变化

对于多数元素，反应截面随入射中子能量\(E\)的变化特性包含三个区域：低能区（1/v区），中能区（共振能区）和高能区（快中子区）。通常的分类界限为：

• 低能区：\(E\le1eV\)；
• 中能区：\(1eV<E\le10^3eV\)
• 高能区：\(E>10^3eV\)

接下来讨论不同质量核对吸收、散射、裂变反应的截面随中子能量变化的特性。

1. 微观吸收截面：

   • 低能区许多元素核\(\sigma_a\)按照\(1/\sqrt E\)规律变化，也就是\(1/v\)率。满足\(\sigma_a(E)\sqrt(E)=\text{Constant}\)。一般可以通过如下式子计算能量为E eV的中子的微观吸收截面：

     \[\sigma_a(E)=\sigma_a(0.0253)\sqrt{\frac{0.0253}{E}} \]

     0.0253eV为温度为297K时的热中子能量，一般核工程手册中以此为换算基准能量。

     多数轻核的中子能量从几个keV到MeV的区间内，吸收截面都近似按照\(1/v\)率变化。对于重核和中等质量核，在低能区有共振吸收现象，偏离\(1/v\)率。

   • 中能区的重核（如\(\ce{^238 U}\)）在共振区内吸收截面变化非常大，出现强烈共振吸收。轻核在共振区一般不出现共振峰，只对能量较高的中子有共振吸收。热中子在堆中的共振吸收主要靠\(\ce{^238 U}\)等核的吸收。

   • 高能区共振峰间距变小，共振峰重叠，吸收截面变得虽有起伏但是缓慢平滑，截面数值很小，只有几b。

2. 微观散射截面：

   • 非弹性散射截面有阈能的特点，质量数越大，阈能越低。中子能量小于阈能，\(\sigma_{in}\)=0。
   • 多数核的弹性散射截面都是常数，只有几b。多数元素与较低能量的中子发生散射都是弹性的。重核在共振能区出现共振弹性散射。

3. 微观裂变截面：

   • 热能区的易裂变核素（\(\ce{^235 U}\)、\(\ce {^239Pu}\)）裂变截面随能量减小而增加，且值很大，热中子反应堆中的裂变基本都发生在热能区。
   • 共振区\(\ce{^235 U}\)裂变截面出现共振峰，在keV至MeV的能量范围内，裂变截面随中子能量增加而下降到几bar。

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➿ 3.共振吸收

🏣 3.1 共振截面

共振峰为截面在随中子能量变化过程中，共振区出现的截面值很大的峰，这一现象也称为共振现象。对于\(A>100\)的许多中核，在低能区和中能区的截面曲线上可以见到这种共振现象，对于轻核一般要在较高能区（E>1MeV）才能观测到共振现象。

低能区的共振峰是一个个孤立峰，随着能量增加，共振峰开始重叠，变得不可分别，最后截面会变成平缓的曲线。通常低能区的截面为可分辨共振区，此能量以上的部分为不可分辨共振区。

描述共振峰的特征参数为：

• 共振能\(E_r\)：共振峰最高处应的能量值；
• 峰值截面\(\sigma_0\)：共振能对应的最高截面值；
• 能级宽度\(\Gamma\)：数值上近似为共振截面曲线上\(\sigma=1/2\sigma_0\)时的能量宽度。

对于静止的靶核和可分辨的共振峰，在共振能\(E_r\)附近发生某共振反应（吸收、辐射俘获、裂变）的截面\(\sigma_x(E)\)可以用单能级布莱特-维格纳公式表示：

\[\sigma_x(E)=\sigma_0\frac{\Gamma_x}{\Gamma}\sqrt{\frac{E_x}{E}}\frac{\Gamma^2}{4(E-E_r)^2+\Gamma^2}\\ \Gamma=\Gamma_n+\sum_x \Gamma_x\\ \sigma_0=4\pi \bar \lambda_0^2 g\frac{\Gamma_n}{\Gamma} \]

其中：\(\Gamma\)，\(\Gamma_n\)，\(\Gamma_x\)为总宽度、中子宽度、\(x\)分宽度，\(\bar \lambda_0\)为共振能处中子的约化波长，\(g\)为统计因子。

对于辐射俘获共振，\(\sigma_\gamma(E)\)为：

\[\sigma_\gamma(E)=\sigma_0\frac{\Gamma_\gamma}{\Gamma}\sqrt{\frac{E_\gamma}{E}}\frac{\Gamma^2}{4(E-E_r)^2+\Gamma^2} \]

📮 3.2 多普勒效应

多普勒效应指，由于靶核热运动随温度减小而增强，所以共振峰宽度将随着温度上升而增加，同时峰值截面减小，展宽后峰面积不变。

尽管由于温度变化，共振截面的曲线形状发生改变，但是共振截面下的面积与介质温度无关，即其界面曲线下的积分面积不变。被共振吸收的中子数一方面取决于吸收截面大小，一方面取决于吸收截面大小，还与中子通量密度能谱分布有关。

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📣 4. 核裂变过程

🎉 4.1 核裂变

可以认为\(\ce {^235U}\)一次裂变可利用能量约200MeV，80%为裂变碎片的动能，其绝大部分转换为热能。200MeV为3.2\(\times10^{-11}\)J，1J为\(3.125\times 10^{10}\)次\(\ce {^235U}\)裂变的能量。

能量形式	能量/MeV
裂变碎片的动能	168
裂变中子的动能	5
瞬发\(\gamma\)能量	7
裂变产物\(\gamma\)衰变-缓发\(\gamma\)能量	7
裂变产物\(\beta\)衰变-缓发\(\beta\)能量	8
中微子能量	12
共计	207

堆芯内\(\vec r\)处的功率密度或体积释热率\(q(\vec r)\)为：

\[q(\vec r)=E_f\Sigma_f\phi(\vec r)=\frac{\Sigma_f \phi(\vec r)}{3.125\times10^{10}} ~~~\text{W/m}^3 \]

反应堆功率：

\[P=\frac{\Sigma_f \bar\phi V}{3.125\times10^{10}}~~~\text W \]

其中V为堆芯体积，\(\bar \phi\)为平均热中子通量密度：

\[\bar \phi=\frac{1}{V}\int_V \phi(\vec r)\text dV\\ =\frac{3.12\times 10^{10}P}{V\Sigma_f} \]

单位时间反应堆内总的裂变率：

\[F_f=3.12\times 10^{10}P \]

对应的吸收率为：

\[F_a=F_f\frac{\sigma_a}{\sigma_f}=(1+\alpha)F_f=3.12(1+\alpha)\times 10^{10}P \]

其中\(\alpha\)为俘获-裂变比，\(\alpha=\sigma_\gamma/\sigma_f\)。

一日（1d=86400s）消耗掉的易裂变核质量为：

\[G=\frac{86400F_aA}{N_0\times 10^3}=4.48\times 10^{-12}\times(1+\alpha)P\times A~~~\text{kg/d} \]

以\(\ce {^235U}\)为例，消耗质量计算为：

\[m=\frac{(1+\alpha)N\times A}{N_0\times 10^3} \]

📀 4.2 裂变产物

绝大多数的核裂变成两个碎片，裂变方式一般是不对称的，几乎所有的情况下，裂变碎片是不稳定的，要经过一系列\(\beta\)衰变才能编程裂变产物。

毒素指部分裂变产物，具有相当大的热中子吸收截面，能吸收堆内的热中子，对反应堆反应性产生影响。热动力堆中重要的毒素有\(\ce {135Xe}\)和\(\ce {149Sm}\)。

裂变中子中，99%以上为在裂变瞬间发射出来的，称为瞬发中子，用\(\chi(E)\text dE\)表示能量在\([E,E+\text dE]\)范围内的裂变中子份额，\(\chi(E)\)为裂变中子能谱。裂变中子能谱对全能量的积分为1。裂变中子的平均能量\(\bar E\)约为2MeV。

约有0.65%的中子在裂变碎片衰变过程中发射出来，这些中子称为缓发中子。能产生缓发中子的裂变碎片核称为缓发中子先驱核。

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🎐 5. 链式裂变反应

💖 5.1 链式裂变反应与临界条件

自续链式裂变反应为不需要依靠外界作用而使裂变反应不断进行下去的裂变反应。裂变核反应堆就是可以以可控方式产生自续链式裂变反应的装置。

自续链式裂变反应的条件可以用有效增殖因数表示，其定义为：

\[k_{\text{eff}}=\frac{新生一代中子数}{直属上一代中子数}\\ =\frac{系统内中子产生率}{系统内中子总消失（吸收+泄露）率} \]

• 当链式裂变反应处于稳态状况，系统为临界系统，\(k_{\text{eff}}=1\)；
• 中子数目随时间不断衰减，系统为次临界系统，\(k_{\text{eff}}<1\)；
• 中子数目随时间不断增加，系统为超临界系统，\(k_{\text{eff}}>1\)；

中子不泄露概率的定义为：

\[\Lambda=\frac{系统内中子的吸收率}{系统内中子的吸收率+系统内中子的泄漏率} \]

一般来说，芯部越大，不泄露概率就越大。

通常把无限大介质的增殖因数称为无限介质增殖因数\(k_\infty\)，其不需要考虑中子泄露率。

\[k_{\text{eff}}=k_\infty \Lambda \]

对于特定材料组成和布置的系统，它的无限介质增殖因数大于1，可以通过找到一个合适的芯部尺寸，使\(k_\infty \Lambda\)等于1，即可得到堆芯的临界状态。这时的堆芯大小为临界大小，在临界情况下堆芯装载的燃料质量为临界质量。

😁 5.2 热中子反应堆中子循环

中子循环的五个过程：

1. \(\ce{^238U}\)的快中子增殖；
2. 慢化过程的共振吸收；
3. 慢化剂以及结构材料等物质的辐射俘获；
4. 燃料吸收热中子引起的裂变；
5. 中子在慢化过程和扩散过程的泄露。

中子循环的中子数变化：

1. 初始一代有\(n\)个裂变中子；
2. \(\ce{^238U}\)快中子增殖使中子增长至\(n\varepsilon\)个；
3. 慢化过程中经过共振俘获，并未泄露，还剩\(n\varepsilon p \Lambda_s\)个慢化到裂变阈能以下；
4. 在热中子扩散过程中未泄露的中子数为\(n\varepsilon p \Lambda_s\Lambda_d\)个，以上均在堆芯内被吸收；
5. 被燃料吸收的中子数为\(n\varepsilon p f\Lambda_s\Lambda_d\)个；
6. 被燃料吸收的中子数得到的新裂变中子数为\(n\varepsilon p f\eta\Lambda_s\Lambda_d\)个，这就是下一代的初始中子数。

中子循环的五个参量：

• 快中子增殖因数\(\varepsilon\)：由一个初始裂变中子所得到的、慢化到U-235裂变阈能以下的平均中子数。

  \[\varepsilon=\frac{热中子和快中子引起裂变所产生的快中子总数}{仅有热中子裂变所产生的快中子数} \]

• 逃脱辐射俘获概率\(p\)：慢化过程中逃脱共振俘获的中子份额。

• 热中子利用系数’\(f\)：和燃料吸收的热中子数占被芯部中所有物质吸收的热中子总数的份额。

  \[f=\frac{燃料吸收的热中子数}{被吸收的热中子总数} \]

• 热中子裂变因数\(\eta\)（有效裂变中子数）：核燃料每吸收一个热中子所产生的裂变中子数。

  \[\eta =\frac{\Sigma_f}{\Sigma _a}\nu \]

• 不泄露概率\(\Lambda\)：中子在慢化过程和热中子在扩散过程的不泄露概率乘积。

  \[\Lambda=\Lambda_s\Lambda_d \]

四因子公式/六因子公式：

\[k_\infty=\varepsilon p f\eta\\ k_{\text {eff}}=\varepsilon p f\eta\Lambda_s\Lambda_d \]