【先进控制理论5】系统运动的稳定性：主要就在研究李雅普诺夫稳定性

5. 系统运动的稳定性

稳定性是系统的一个基本结构特性。系统的稳定性分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。在一定条件下，外部稳定性和内部稳定性才存在等价关系。

5.1 外部稳定性和内部稳定性

外部稳定性：称一个系统的外部稳定（也称有界输入到有界输出的稳定性，Bounded-Input Bounded-Output，BIBO稳定性）是指，对任何一个有界输入\(u(t)\)，即\(||u(t)||\le \beta_1<\infty\)，\(\forall t\in [t_0,+\infty)\)的任意输入\(u(t)\)，对应的输出\(y(t)\)均为有界，即：

\[||y(t)||\le \beta_2<\infty,\quad \forall t\in [t_0,+\infty) \]

结论5-1：线性时变系统的BIBO稳定 对于一个零初始条件\(p\)维输入和\(q\)维输出连续时间线性时变系统，\(t\in [t_0,+\infty)\)，则\(t_0\)时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为存在一个有限正常数\(\beta\)，使对一切\(t\in [t_0,+\infty]\)脉冲响应矩阵\(H(t,\tau)\)所有元\(h_{i,j}(t,\tau)\)均满足关系式：

\[\int_{t_{0}} ^t|h_{i,j}(t,\tau)|\text d\tau\le\beta <\infty,\quad i=1,2,\cdots,q ,\quad j=1,2,\cdots,p \]

结论5-2：线性定常系统BIBO稳定 对于一个零初始条件\(p\)维输入和\(q\)维输出连续时间线性时不变系统，令\(t_0=0\)，则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数\(\beta\)，使得脉冲响应矩阵\(H(t)\)所有元\(h_{i,j}(t)\)均满足关系式：

\[\int_{t_{0}} ^t|h_{i,j}(t)|\text dt\le\beta <\infty,\quad i=1,2,\cdots,q ,\quad j=1,2,\cdots,p \]

同样上面也等价于真或严真传递函数矩阵\(G(s)\)的所有极点均具有负实部。

内部稳定性：称连续时间线性时变系统在\(t_0\)为内部稳定，是指由时刻\(t_0\)任意非零初始状态\(X(t_0)=X_0\)引起的零输入响应\(X_{ou}(t)\)对\(t\in[t_0 ,+\infty)\)有界，并满足渐近属性，这也称为李雅普诺夫稳定，即：

\[\lim_{t\to \infty}X_{ou}(t)=0 \]

结论5-3：线性时变系统内部稳定 设\(n\)维连续时间线性时变自治系统：

\[x'=A(t)x,\quad x(t_0)=x_0,\quad t\in[t_0,\infty) \]

系统在\(t_0\)时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵\(\Phi(t,t_0)\)对所有的\(t\in[t_0,+\infty)\)为有界，并满足：

\[\lim_{t\to \infty}\Phi(t,t_0)=0 \]

结论5-4：线性定常系统内部稳定 设\(n\)维连续时间线性定常自洽系统：

\[x'=Ax,\quad x(0)=x_0,\quad t\ge 0 \]

内部稳定的充分必要条件为\(\displaystyle \lim_{t\to \infty}e^{At}=0\)。同样也等价于矩阵\(A\)所有特征值具有负实部，即：

\[Re\{\lambda_i(A)\}<0 \]

结论5-5：内部稳定性和外部稳定性的关系 对连续时间线性时不变系统，内部稳定可以推出BIBO稳定，但反之不成立；若系统能控且能观，则内部稳定等价于BIBO稳定。

5.2 李雅普诺夫意义下运动的稳定性

李亚普诺夫第一方法：间接法，小范围稳定性分析方法，线性化；
李亚普诺夫第二方法：直接法，引入广义能量函数。

自洽系统：没有输入作用的一类动态系统，\(x'=f(x,t),\quad x(t_0)=x_0,\quad t\in[t_0,+\infty)\)。
平衡状态：状态空间中满足\(x_e'=f(x_e,t)=0,\quad \forall t\in [t_0,\infty)\)的一个状态。即平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。
受扰运动：自洽系统由初始状态扰动\(x_0\)引起的一类状态运动。实质上就是系统的零输入响应，\(x_{ou}(t)=\Phi(t,x_0,t_0),\quad t\in[t_0,\infty)\)。

李雅普诺夫意义下的稳定：称自洽系统，\(x'=f(x,t),\quad x(t_0)=x_0,\quad t\in[t_0,+\infty)\)的孤立平衡状态\(x_e=0\)在时刻\(t_0\)为李雅普诺夫意义下的稳定，如果对任给一个实数\(\varepsilon>0\)，都对应存在另一依赖于\(\varepsilon\)和\(t_0\)的实数\(\delta(\varepsilon,t_0)>0\)，使得满足不等式\(||x_0-x_e||\le\delta(\varepsilon,t_0)\)的任一初始状态\(x_0\)出发的受扰运动\(\phi(t,x_0,t_0)\)都满足不等式：

\[||\phi(t,x_0,t_0)-x_e||<\varepsilon,\quad \forall t\ge t_0 \]

1. 稳定的几何解释：不等式(9)看成一个状态空间中以\(x_e\)为球心和以\(\varepsilon\)为半径的一个超球体，其球域表为\(S(\varepsilon)\)；不等式\(||x_0-x_e||\le\delta(\varepsilon,t_0)\)看成为状态空间中以\(x_e\)为球心和以\(\delta(\varepsilon,t_0)\)为半径的一个超球体，其球域表为\(S(\delta)\)，且球域大小同时依赖于\(\varepsilon\)和\(t_0\)。李雅普诺夫意义下的稳定的几何意义就是，由域\(S(\delta)\)内任意一点出发的运动轨线\(\phi(t,x_0,t_0)\)对所有时刻\(t\in[t_0,\infty)\)都越不出域\(S(\varepsilon)\)的边界\(H(\varepsilon)\)。
2. 李亚普诺夫意义下一致稳定：通常时变系统的\(\delta\)与\(t_0\)有关，定常系统的\(\delta\)与\(t_0\)无关。只要\(\delta\)与\(t_0\)无关，这种平衡状态称为一致稳定的。
3. 定常系统的稳定属性：定常系统李亚普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。
4. 李亚普诺夫意义下稳定的实质上是工程意义下的临界不稳定。