HDU 2841 Visible Trees 数论+容斥原理
Description
If two trees and Sherlock are in one line, Farmer Sherlock can only see the tree nearest to him.
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容斥原理
题意:给n*m的矩阵有点,左下角的点为(1,1),右上角的点(n,m),(其实转回来也是没影响的即m*n),一个人站在(0,0)看这些点,在一条直线的视线上,它只能看到最前面的那个点,后面的点将会被档住他看不到,问你,这个人一共能看到多少个点。
这个问题只要画一下图不难发现,如果一个点(x,y),x和y有非1的公约数z,那么他们其实可以一起缩小为(x/z,y/z),试着把这两个点和(0,0)连线,发现他们其实是同一条直线,而(x/z,y/z)
在前面,所以其实(x,y)被挡住了看不到的,这启发了我们,如果我们找到了x和y的最大公约数g,那么(x/g,y/g)一定是这条直线上最前面的点,没有其他店能挡住他,他一定能被看到,而他后面的点都看不到,那么(x/g,y/g)满足的性质就是,这两个数字互质
从而得到一个结论,两个数字(x,y)如果两数互质,则可以被看到,如果不互质,则看不到,所以我们就是要找出所有的二元组(x,y)使他们互质
我们可以固定一个数字,用一个数来循环。例如矩阵为n*m,我们固定m,用n来循环,即1与[1,m]里面多少个数互质,2与[1,m]里面多少个数互质,3与[1,m]里面多少个数互质……n与[1,m]里面多少个数互质,把这些结果全部累加起来即可
所以问题的最后变为了,给定一个数字x,怎么找出它和1到y里面有多少个数互质呢?
两个数字互质,其实就是它们没有公共的质因子,反过来两个数字有公共的质因子则一定不互质,那么我们可以求反面,x与1到y里面多少个数字不互质,然后用y减去即可
在这里我们就用到了容斥原理:先找到有多少个数和x有1个公共的质因子,然后加上;再找到有多少个数与x有2个公共的质因子,然后减去;再找到有多少个数有多少个数与x有3个公共的质因子,然后加上……最后得到的个数,就是有多少个数与x不互质
因为容斥原理一个最基本的准则就是——
要计算几个集合并集的大小,我们要先将所有单个集合的大小计算出来,然后减去所有两个集合相交的部分,再加回所有三个集合相交的部分,再减去所有四个集合相交的部分,依此类推,一直计算到所有集合相交的部分。(奇数加,偶数减)
1.dfs搜索遍历
#include <iostream> #include <cmath> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e3+5; int prime[maxn],cnt=0; bool isprime[maxn]; void get() { for(int i=2;i<=maxn;i++) { if(!isprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(int j=i+i;j<=maxn;j+=i) isprime[j]=1; } } } int data[maxn],k=0; void cal(int n) { for(int i=0;prime[i]*prime[i]<=n;i++) { if(n%prime[i]==0) { data[k++]=prime[i]; while(n%prime[i]==0) n/=prime[i]; } } if(n!=1) data[k++]=n; } int n,m,t; ll ans; void dfs(int hav,int cur,int num) { if(hav>m||cur==k) return ; for(int i=cur;i<k;i++) { int tmp=hav*data[i]; //这里注意 if(num&1) ans-=m/tmp; else ans+=m/tmp; dfs(tmp,i+1,num+1); //是i+1不是cur+1 } } int main() { get(); //一定不能忘 scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d%d",&n,&m); ans=m; for(int x=2;x<=n;x++) { memset(data,0,sizeof(data)); k=0; cal(x); ans+=m; for(int i=0;i<k;i++) { ans-=m/data[i]; dfs(data[i],i+1,2); } } printf("%lld\n",ans); } }
2.二进制枚举
#include <iostream> #include <cmath> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e3+5; int prime[maxn],cnt=0; bool isprime[maxn]; void get() { for(int i=2;i<=maxn;i++) { if(!isprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(int j=i+i;j<=maxn;j+=i) isprime[j]=1; } } } int data[maxn],k=0; void cal(int n) { for(int i=0;prime[i]*prime[i]<=n;i++) { if(n%prime[i]==0) { data[k++]=prime[i]; while(n%prime[i]==0) n/=prime[i]; } } if(n!=1) data[k++]=n; } int n,m,t; int main() { get(); //一定不能忘 scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d%d",&n,&m); ll ans=m; for(int x=2;x<=n;x++) { memset(data,0,sizeof(data)); k=0; cal(x); for(int i=0;i<(1<<k);i++) { int flag=0; ll tmp=1; for(int j=0;j<k;j++) { if(i&(1<<j)) { flag++; tmp*=data[j]; if(tmp>m) break; } } if(flag&1) ans-=m/tmp; else ans+=m/tmp; } } printf("%lld\n",ans); } }