支配树
# 支配树
在一个有向图中，有一个起点R，对于任意点W，对于R->W的任意路径都经过点P，则称P为W的支配点。设idom[i]表示距离i最近的支配点。在原图基础上，idom[i]向i连边构成一颗新树，称为支配树
##支配树的性质
1.支配树是以R为根的一棵树
2.对于任意点i，到根r路径上经过的点集{xi}是原图上r->i的必经点
3.对于任意的i，它是子树中每个点的必经点
## 求得
### 半必经点
在dfs搜索树中，对于一个节点Y，存在某个点X能够通过一系列点pi（不包含X和Y）到达点Y且∀i dfn[i]>dfn[Y]，我们就称X是Y的半必经点，记做semi[Y]=X
通俗理解：semi[x]就是x在dfs树中所有祖先中z，能不经过 z 和 x 之间的树上的点而到达 x 的点中深度最小的。
###半必经点性质
1. semi[x]一定是x的祖先
2. semi[x]一定是确定的
3. 半必经点不一定是必经点
4. semi[x]深度不小于idom[x]，即idom[x]在semi[x]祖先链上
~~证明的话，咕咕了~~
### 半必经点的作用
保留dfs树的树边，连接semi[i]->i构建新图。不改变原图支配关系，且构成一个dag图。
### 计算
对于点x，有边(y,x)
• 若dfn[y]$<$dfn[x](树边或前向边） 且dfn[y]$<$dfn[semi[x]] ,semi[x]=y
• 根据定义显然
• 若dfn[y]>dfn[x]（后向边或横叉边），找到y的一个祖先semi值最小
的z且dfn[z]>dfn[x]，用semi[z]更新semi[x]
## 计算idom
### 性质
1. idom[x]的深度不大于semi[x]
2. 设点集P是semi[x]（不包含）到x路径上的点，t是P中semi最小的点(1、若semi[t]=semi[x],则idom[x]=semi[x]2、若semi[t]!=semi[x],则idom[x]=idom[t])
## 算法
1. 按dfs序搜索原图得到dfn，从dfn大到小考虑节点
2. 利用带权并查集维护每个点到祖先链上semi值最小值
3. 设当前计算semi[x],对于（y,x）若dfn[y]>dfn[x],则直接根据 更新（y的semi已经计算完）若dfn[y]$<$dfn[x]，则semi[y]没有更新，y是并查集独立点， 同样更新
4. 用x=semi[y]->y更新y的idom，直接查询y祖先链上最小值
5. 最后将semi[x]!=idom[x]的节点idom按dfn从小到大刷新一次
## 代码实现
HDU4694
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5+10; vector<int>fg[N];vector<int>gg[N];vector<int>ng[N]; int n,m,cnt,tot,rt; int num[N],val[N],size[N],du1[N],du2[N],fa[N],dfn[N],semi[N],idom[N],fir[N],nxt[N],ver[N],col[N]; void init(){ cnt=tot=rt=0; for(int i=1;i<=n;i++)fg[i].clear(),gg[i].clear(),ng[i].clear(); memset(val,0,sizeof val);memset(num,0,sizeof num); memset(du1,0,sizeof du1);memset(du2,0,sizeof du2); memset(fa,0,sizeof fa);memset(dfn,0,sizeof dfn); memset(semi,0,sizeof semi);memset(idom,0,sizeof idom); memset(fir,0,sizeof fir);memset(nxt,0,sizeof nxt); memset(ver,0,sizeof ver);memset(col,0,sizeof col); } inline void add(int x,int y){ver[++tot]=y,nxt[tot]=fir[x];fir[x]=tot;} void dfs(int x){ dfn[x]=++cnt,num[cnt]=x; for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){ int y=ver[i];if(dfn[y]) continue; fa[y]=x;dfs(y); } } int find(int x){ if(col[x]==x) return x; int fx=find(col[x]); if(dfn[semi[val[col[x]]]]<dfn[semi[val[x]]]) val[x]=val[col[x]]; col[x]=fx;return fx; } void tarjan(){ for(int j=cnt;j>1;j--){ int x=num[j]; for(int i=0;i<fg[x].size();i++){ int y=fg[x][i];if(!dfn[y]) continue; find(y); if(dfn[semi[val[y]]]<dfn[semi[x]]) semi[x]=semi[val[y]]; } gg[semi[x]].push_back(x); col[x]=fa[x];int now=fa[x]; for(int i=0;i<gg[now].size();i++){ int x=gg[now][i]; find(x); if(semi[val[x]]==now) idom[x]=now; else idom[x]=val[x]; } } for(int i=2;i<=cnt;i++){ int x=num[i]; if(idom[x]!=semi[x]) idom[x]=idom[idom[x]]; ng[idom[x]].push_back(x); } } void dfsans(int x,int sum){ du2[x]=x+sum; for(int i=0;i<ng[x].size();i++) dfsans(ng[x][i],sum+x); } int main(){ //freopen("nmmp.cpp","r",stdin); while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ int x,y;init(); for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),fg[y].push_back(x); for(int i=1;i<=n;i++){col[i]=val[i]=semi[i]=i;} dfs(n);tarjan();dfsans(n,0); for(int i=1;i<n;i++) printf("%d ",du2[i]); printf("%d",du2[n]);puts(""); } return 0; }
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <queue> 5 #include <vector> 6 #pragma GCC optimize(3) 7 using namespace std; 8 const int MAXN = 50000 + 10; 9 int n, m; 10 int read() 11 { 12 int x = 0, f = 1; 13 static char c = getchar(); 14 while ( c<'0' || c>'9' ) 15 { 16 if ( c == '-' ) 17 f = -1; 18 c = getchar(); 19 } 20 while ( c >= '0' && c <= '9' ) 21 { 22 x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ '0'); c = getchar(); 23 } 24 return(x * f); 25 } 26 27 28 struct Graph { 29 vector<int> G[MAXN]; 30 void add( int f, int t ) 31 { 32 G[f].push_back( t ); 33 } 34 35 36 void reset() 37 { 38 for ( int i = 1; i <= n; i++ ) 39 G[i].clear(); 40 } 41 } G, rG, sG, tree; 42 int dfn[MAXN], id[MAXN], dfn_cnt, semi[MAXN], idom[MAXN], dep[MAXN]; 43 int degree[MAXN]; 44 int fa[MAXN]; 45 int lca[MAXN][20]; 46 int belong[MAXN], mn[MAXN]; /* bcj */ 47 bool vis[MAXN]; 48 int q[MAXN], top; 49 int sum; 50 queue<int> Q; 51 int ans[MAXN]; 52 void reset() 53 { 54 dfn_cnt = 0; top = 0; sum = 0; 55 memset( lca, 0, sizeof(lca) ); 56 memset( vis, false, sizeof(vis) ); 57 memset( fa, 0, sizeof(fa) ); 58 memset( degree, 0, sizeof(degree) ); 59 memset( dfn, 0, sizeof(dfn) ); 60 memset( id, 0, sizeof(id) ); 61 memset( semi, 0, sizeof(semi) ); 62 memset( dep, 0, sizeof(dep) ); 63 memset( ans, 0, sizeof(ans) ); 64 memset( mn, 0, sizeof(mn) ); 65 for ( int i = 1; i <= n; i++ ) 66 { 67 belong[i] = i; mn[i] = i; 68 } 69 G.reset(), sG.reset(), tree.reset(), rG.reset(); 70 } 71 72 73 void getdfn( int x, int f ) 74 { 75 dfn[x] = ++dfn_cnt; id[dfn_cnt] = x; 76 semi[x] = x; fa[x] = f; 77 vis[x] = true; 78 for ( int i = 0; i < G.G[x].size(); i++ ) 79 { 80 int t = G.G[x][i]; 81 if ( vis[t] ) 82 continue; 83 getdfn( t, x ); 84 } 85 } 86 87 88 int find( int x ) 89 { 90 if ( x == belong[x] ) 91 return(x); 92 int f = belong[x]; belong[x] = find( f ); 93 if ( dfn[semi[mn[f]]] < dfn[semi[mn[x]]] ) 94 mn[x] = f; 95 return(fa[x]); 96 } 97 98 99 int LCA( int x, int y ) 100 { 101 if ( dep[x] < dep[y] ) 102 swap( x, y ); 103 int d = dep[x] - dep[y]; 104 for ( int i = 18; i >= 0; i-- ) 105 if ( d & (1 << i) ) 106 x = lca[x][i]; 107 for ( int i = 18; i >= 0; i-- ) 108 { 109 if ( lca[x][i] ^ lca[y][i] ) 110 x = lca[x][i], y = lca[y][i]; 111 } 112 return(x == y ? x : lca[x][0]); 113 } 114 115 116 void worklca( int x ) 117 { 118 int anc = sG.G[x][0]; 119 for ( int i = 0; i < sG.G[x].size(); i++ ) 120 { 121 anc = LCA( anc, sG.G[x][i] ); 122 } 123 dep[x] = dep[anc] + 1; 124 idom[x] = anc; 125 lca[x][0] = anc; 126 for ( int i = 1; i <= 18; i++ ) 127 lca[x][i] = lca[lca[x][i - 1]][i - 1]; 128 } 129 130 131 void lengauer_tarjan() 132 { 133 getdfn( n, 0 ); 134 dfn[0] = 0x3f3f3f3f; 135 for ( int w = dfn_cnt; w > 1; w-- ) 136 { 137 int x = id[w]; 138 for ( int i = 0; i < rG.G[x].size(); i++ ) 139 { 140 int t = rG.G[x][i]; 141 if ( !dfn[t] ) 142 continue; 143 find( t ); 144 if ( dfn[semi[mn[t]]] < dfn[semi[x]] ) 145 semi[x] = semi[mn[t]]; 146 } 147 sG.add( semi[x], x ); 148 belong[x] = fa[x]; 149 int now = fa[x]; 150 for ( int i = 0; i < sG.G[now].size(); i++ ) 151 { 152 int x = sG.G[now][i]; 153 find( x ); 154 if ( semi[mn[x]] == now ) 155 idom[x] = now; 156 else idom[x] = mn[x]; 157 } 158 } 159 for ( int i = 2; i <= dfn_cnt; i++ ) 160 { 161 int x = id[i]; 162 if ( idom[x] != semi[x] ) 163 idom[x] = idom[idom[x]]; 164 tree.add( x, idom[x] ); 165 } 166 } 167 168 169 int getans( int x ) 170 { 171 int ans = x; 172 for ( int i = 0; i < tree.G[x].size(); i++ ) 173 { 174 ans += getans( tree.G[x][i] ); 175 } 176 return(ans); 177 } 178 179 180 int main() 181 { 182 while ( scanf( "%d%d", &n, &m ) != EOF ) 183 { 184 int f, t; 185 reset(); 186 for ( int i = 1; i <= m; i++ ) 187 { 188 f = read(), t = read(); 189 G.add( f, t ); rG.add( t, f ); 190 } 191 lengauer_tarjan(); 192 for ( int i = 1; i <= n; i++ ) 193 printf( "%d ", getans( i ) ); 194 puts( "" ); 195 } 196 }
