AtCoder Beginner Contest 242（C~E）

AB 水题

C - 1111gal password

题意：给出 N（$2\le N\le 1e6$）求满足以下条件的 $X$ 的数量，需除以模 ($998244353$)

• $X$ 是 $N$ 位数
• 对于 $X_1,X_2,...,X_N$ 的每位数
  • $1\le X_i\le 9$
  • $|X_i-X_{i+1}|\le 1$

思路：

emm，直接看过去知道是比较明显的数论推导问题，随便写了几组发现当定义状态 $f_{i,j}$ 表示长度为 $i$ 符合条件的数字，结尾数位是 $j$ 有多少个。递推式如下：

$$\begin{array}{c}{f}_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}+f_{i-1,j+1}\\ f_{i,0}=f_{i,10}=0\\ f_{1,j}=1\end{array}$$

【AC Code】

const int N = 1e6 + 10, mod = 998244353;
ll n;
ll f[N][11];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    cout << fixed << setprecision(20);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= 9; i += 1) f[1][i] = 1;
    for (int j = 2; j <= n; j++) 
        for (int i = 1; i <= 9; i++)
            f[j][i] = (f[j - 1][i - 1] + f[j - 1][i] + f[j - 1][i + 1]) % mod;
    // 定义初始和结尾以及初始值
    // {1,2,3,4,5}, accumulate(a[0], a[5],0ll) = 15
    cout << accumulate(f[n] + 1, f[n] + 10, 0ll) % mod;
}

D - ABC Transform

题意：

给定一个长度为 $N$ 的字符串 $S$ ，由A B C 三种字符组成，每一次变化会使 $S$ 中的 A 全部变成 BC ，B 全部变成 CA ，C 全部变成 AB ，如 ABC 在一次变化后会变成 BCCAAB 。现在有 Q 个询问，每个询问都是求原串 $S$ 经过 $t_i$ 次变化后第 $k_i$ 个字符

分析：

首先可以看出一个字符执行了 $t$ 次操作以后的长度是好计算的，所以我们先把问题变成一个字符执行 $t$ 次操作之后的第 $k$ 个是什么。

上面的东西可以考虑作为递归做，即定义函数类似 $f(c,t,k)$ 表示字符 $c$ 执行了 $t$ 次操作得到的字符串第 $k$ 个是什么，只是存在一个问题：$t(\le 1e18)$ 太大了

观察到每次操作会把字符串长度加倍，所以执行很少操作后，就变成了对 $f(c,t,1)$ 求值。然而操作三次以后第一个字符等价于没有改变，所以可以直接得到结果。

Update：发现原思路虽然正确但有点绕

令 $f(t,k)$ 为原 $S$ 经过 $t_i$ 次变化后得到的 $k_i$ 字符

首先，当 $t=0$ 时，直接输出 $S_k$ 即可

其次，当 $t\ne 0$ ，我们需要知道 $f(t,k)$ 从何而来

样例

ABC ->
BCCAAB ->
CAABABBCBCCA

采用分类讨论的方法，不难发现

• 当 $k\in 2m+1|m\in Z$ (即 $k$ 为奇数时)，$f(t-1,\frac{k+1}{2})\to f(t,k)$
• 当 $k\in 2m|m\in Z$ (即 $k$ 为偶数时)，$f(t-1,\frac{k}{2})\to f(t,k)$

怎么进行变化？

可以概阔为一个 $g$ 函数：

inline char g(char ch, int x) { return (ch - 'A' + x) % 3 + 'A';}

但是，如果我们每一次都去递归 $t$ 还是太大了，直接炸了。那么只能动 $k$ 了

观察样例中字符串首，它们是 A B C 轮换的。

利用这条性质，当 $k=0$ 即可直接求 $f(t,0)=g(S.front(),tmod3)$

但是问题来了，这样一个算法肯定会对 $k$ 取模，万一 $k=0...$

所以，我们把 $S$ 的改为编号 $0\to N-1$

此时：

• 当 $k\in 2m+1|m\in Z$ (即 $k$ 为奇数时)，$f(t-1,\frac{k-1}{2})\to f(t,k)$
• 当 $k\in 2m|m\in Z$ (即 $k$ 为偶数时)，$f(t-1,\frac{k}{2})\to f(t,k)$

代码就很好写了

string s;
ll q, t, k;
inline char g(char ch, int x) { return (ch - 'A' + x) % 3 + 'A';}
char f(ll t, ll k) {
    if (!t) return s[k];
    if (!k) return g(s[0], t % 3);
    return g(f(t - 1, k >> 1), (k & 1) + 1);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    cout << fixed << setprecision(20);
    cin >> s >> q;
    while (q --) {
        cin >> t >> k;
        cout << f(t, k - 1) << "\n";
    }
}

E - (∀x∀)

title 好玩

我们可以枚举两个字符串相同的前缀有多长，然后在后一个位置给串 $X$ 填更小的字符，再之后的位置可以随便填了。

• 需要判断 $X$ 的前半段全部和 $S$ 相同时，后半段是否小于等于 $S$。

const int N = 1e6, mod = 998244353;
ll pw[N + 10] = {1};
string s;
int T, n;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    cout << fixed << setprecision(20);
    for (int i = 1; i <= N; i += 1) pw[i] = pw[i - 1] * 26ll % mod;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> s;
        s = "@" + s;
        int ans = 0;
        bool f = 1;
        for (int i = 1; i <= (n + 1) / 2; i++) {
            int a = s[i] - 'A', b = s[n + 1 - i] - 'A';
            ans = (ans + (ll)a * pw[(n + 1) / 2 - i]) % mod;
            f &= a <= b;
            f |= a < b;
        }
        cout << (ans + f) % mod << "\n";
    }
}