AtCoder ABC 165 D - Floor Function (Good, 手动模拟推出公式)

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题意：

给出正整数 \(A,B,N (1\le A\le 1e6,1\le B,N\le1e12)\) ，对于 \(x\in [0,N]\) 求出

• \(\left\lfloor\frac{A x}{B}\right\rfloor-A \times\left\lfloor\frac{x}{B}\right\rfloor\)

的最大值

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\[QAQ \]

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全搜索的话 \(\mathcal{O}(n)\) 的时间复杂度是肯定不行的，直接看过去公式应该能够化简，

如果不是 \(floor\) (向下取整) ，而是实数运算的话， \(\frac{Ax}B - \frac{Ax}B = 0\) 就恒成立了

大概如上思考的话，总觉得为了使 \(x\) 这个值更大，原公式后面部分的 \(\left\lfloor\frac{x}{B}\right\rfloor\)​ 应该尽可能的靠近向上取整得到的整数，即尽可能得到 \((.999999)\)​ 这样的答案，此时差值就变大起来了

实际模拟一下

样例一：\(A=5,B=7,N=4\)

\(x\)	\(\left\lfloor\frac{A x}{B}\right\rfloor\)	\(A \times\left\lfloor\frac{x}{B}\right\rfloor\)	差值
0	0	0	0
1	0	0	0
2	1	0	1
3	2	0	2
4	2	0	2
5	3	0	3
6	4	0	4
7	5	5	0
8	5	5	0
9	6	5	1
10	7	5	2
11	7	5	2
12	8	5	3
13	9	5	4

而且要注意的是：

• \(A \times\left\lfloor\frac{x}{B}\right\rfloor\) 是周期的增加，\(B(=7),A(=5)\)

同理：\(\left\lfloor\frac{A x}{B}\right\rfloor\) 也是一样的

\(f(x) = \left\lfloor\frac{A x}{B}\right\rfloor-A \times\left\lfloor\frac{x}{B}\right\rfloor\)​ 的取值对于 \(B\) 来说是周期性的，所以 \(x\) 的取值

• \(x=0,1,2,...,B-1\)

考虑这么多即可

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在 \(x = 0,1,2,...,B-1\) 的范围中

• \(\left\lfloor\frac{A x}{B}\right\rfloor\) 单调递增
• \(A \times\left\lfloor\frac{x}{B}\right\rfloor\) 保持不变
• 那么 \(f(x)\) 单调性也就是同 \(\left\lfloor\frac{A x}{B}\right\rfloor\) 一样单调递增了

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换句话说，只要满足

• \(x=0,1,...,B-1\)
• \(x\le N\)

的话符合条件的最大 \(x\)​ 应该是 \(x=\min(N,B-1)\)​

那么最后答案输出 $ \frac AB\times \min(N,B-1)$​​​ 即可

时间复杂度由全搜索的 \(\mathcal{O}(n) \to \mathcal{O}(1)\)​

ll a, b, n;
int main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    cin >> a >> b >> n;
    cout << a * min(n, b - 1) / b;
}