AtCoder ABC 165 D - Floor Function (Good, 手动模拟推出公式)

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题意：

给出正整数 $A,B,N(1\le A\le 1e6,1\le B,N\le 1e12)$ ，对于 $x\in [0,N]$ 求出

• $\lfloor \frac{Ax}{B}\rfloor -A\times \lfloor \frac{x}{B}\rfloor$

的最大值

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$$QAQ$$

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全搜索的话 $\mathcal{O}(n)$ 的时间复杂度是肯定不行的，直接看过去公式应该能够化简，

如果不是 $floor$ (向下取整) ，而是实数运算的话， $\frac{Ax}{B}-\frac{Ax}{B}=0$ 就恒成立了

大概如上思考的话，总觉得为了使 $x$ 这个值更大，原公式后面部分的 $\lfloor \frac{x}{B}\rfloor$​ 应该尽可能的靠近向上取整得到的整数，即尽可能得到 $(.999999)$​ 这样的答案，此时差值就变大起来了

实际模拟一下

样例一：$A=5,B=7,N=4$

$x$	$\lfloor \frac{Ax}{B}\rfloor$	$A\times \lfloor \frac{x}{B}\rfloor$	差值
0	0	0	0
1	0	0	0
2	1	0	1
3	2	0	2
4	2	0	2
5	3	0	3
6	4	0	4
7	5	5	0
8	5	5	0
9	6	5	1
10	7	5	2
11	7	5	2
12	8	5	3
13	9	5	4

而且要注意的是：

• $A\times \lfloor \frac{x}{B}\rfloor$ 是周期的增加，$B(=7),A(=5)$

同理：$\lfloor \frac{Ax}{B}\rfloor$ 也是一样的

$f(x)=\lfloor \frac{Ax}{B}\rfloor -A\times \lfloor \frac{x}{B}\rfloor$​ 的取值对于 $B$ 来说是周期性的，所以 $x$ 的取值

• $x=0,1,2,...,B-1$

考虑这么多即可

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在 $x=0,1,2,...,B-1$ 的范围中

• $\lfloor \frac{Ax}{B}\rfloor$ 单调递增
• $A\times \lfloor \frac{x}{B}\rfloor$ 保持不变
• 那么 $f(x)$ 单调性也就是同 $\lfloor \frac{Ax}{B}\rfloor$ 一样单调递增了

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换句话说，只要满足

• $x=0,1,...,B-1$
• $x\le N$

的话符合条件的最大 $x$​ 应该是 $x=min(N,B-1)$​

那么最后答案输出 $\frac{A}{B}\times min(N,B-1)$​​​ 即可

时间复杂度由全搜索的 $\mathcal{O}(n)\to \mathcal{O}(1)$​

ll a, b, n;
int main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    cin >> a >> b >> n;
    cout << a * min(n, b - 1) / b;
}