【经典概率题】百囚徒挑战

起因，这两天多校概率题挺多的，又不太会做。

刚好学长发了一些概率问题知识就有这个就去了解了一下

有一个很反直觉的问题，叫作百囚徒挑战。

很多时候，我们都会靠直觉去评价一件事情，但很多时候，我们的直觉是错的，哪怕感觉有多么准确，而最著名的反直觉问题，就是百囚徒挑战。

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问题描述

监狱决定给关押的100名囚徒一次特赦的机会，条件是囚徒通过一项挑战。

1、所有囚徒被一一编号，编号为1-100。
2、将编号1-100的100个号码牌，随机放在100个抽屉。
3、每个囚徒可以打开最多50个抽屉，如果找到对应自己编号的号码牌，则该囚徒挑战成功，反之挑战失败。
4、所有囚徒全部挑战成功，该项挑战才算成功，任意一名囚徒挑战失败，则该项挑战失败！

囚徒们有一个月的时间去讨论策略，那么，这100个囚徒有多大的概率能够得到释放？

前三点看起来并不难，但第四条直接将难度直线升级。从直觉来看，每个囚徒完成挑战的概率就是1/2，而且每个囚徒的挑战都是独立事件，所以100个囚徒同时成功的概率就是（1/2）的100次方，这个数，几乎接近于零！

那么为什么说这个问题是反直觉的？

实际上，这个题目并不是单纯的概率题。比如考虑最简单的情况，囚徒只有两人，那么他们每人只能从两个抽屉里选择一个抽屉打开，这时他们被释放的概率是1/4吗？不是。如果两个囚徒打开不同的抽屉，那么他们被释放的概率是 1/2，反之如果两个囚徒打开同一个抽屉，那么他们被释放的概率是0.

因此，只要囚徒采取了正确的策略，那他们获胜的概率很大，在人数为100人时，仍旧有 $30 %$ 那么多。同时，当人数趋于无穷，这个概率不会变得更小，而是趋近于 $1 - l n 2$ ！！

下面开始解释为什么概率是趋近于 $1 - l n 2$

解答的细节来自知乎的大佬 Yuz.Scarlet

不妨假设抽屉里的号码牌是随机放置的（否则，囚徒可以自己在脑内打乱所有抽屉的位置以达到同样的效果※），之后囚徒首先为抽屉编号，例如从左上到右下依次编号。而每个囚徒的策略，就是首先打开与自己编号相同的抽屉，从中取出号码牌，并打开号码牌所对应的抽屉。之后，重复此过程，直到找到自己的号码牌，或者50个抽屉的机会用完。

例如，29号囚徒首先打开了29号抽屉，里面放着51号的号码牌，于是他打开51号抽屉，里面放着18号的号码牌，于是他打开18号的抽屉，里面放着29号的号码牌，他完成了任务。（只是随便举例）（※※）

为了计算成功概率，首先对这个游戏进行化简。将抽屉与号码牌的对应关系视为一个映射，例如 $f (29) = 18, f (51) = 18$ ，那么从任意一个数出发，不停地迭代计算，最终总能回到这个数。通过这种方法， $1$ ~ $100$ 的数字被分割为了一些“圆环”，而每个圆环的长度不一，比如 $3 \to 3$ 的长度就是1，意味着3号抽屉里装着3号号码牌， $29 \to 51 \to 18 \to 29$ 的长度是3；这时，我们发现，所有囚徒能够通过挑战，当且仅当所有圆环的长度不超过50，此时显然每个囚徒都能在50次以内找到自己的号码牌，反之如果有一个圆环长度超过50，那么这个圆环上的所有人都会失败。

接下来就是计算了。比起计算“所有圆环的长度不超过50”的概率，“有一个圆环长度超过50”的概率更容易计算。因为“有一个圆环的长度是51”和“有一个圆环的长度是52”之类的事件是彼此互斥的（圆环的长度总和是100），所以总概率就是它们的和。而对于 $m \geq 51$ ，只需先选出 $m$ 个元素，将它们构成一个环，之后再将剩下的元素随机打乱即可唯一地得到一种分布。

具体地说，所有形成长度为 $m$ 环的映射种类为 $C_{100}^{m} * (m - 1)! * (100 - m)! = 100! / m$ ，全排列个数为 $100!$ ，因此这个概率等于 $P (m) = 1 / m$

综上，所有圆环长度不超过50的概率等于 $P = 1 - \sum_{m = 51}^{100} \frac{1}{m} \approx 0.312$ ，这个概率就是囚徒被释放的概率。当囚徒人数趋于无穷大时，概率趋向于 $P = 1 - \sum_{m = N + 1}^{2 N} \frac{1}{m} \approx 1 - l n 2$

Seg-Static

不那么严密地说，这个策略的关键点在于让所有囚徒尽可能地一起成功或者一起失败，因此所有玩家的任务不再是独立的，一旦有一个人成功，他所翻出的号码牌对应的人也一定会成功，同时只要有一半的人成功，剩下的人都一定成功。

通过计算可得，在之前所有人都成功的条件下，下一个人成功的概率依次为

50 %, 75.25 %, 89.26 %, 95.63 %, . . . . . .

这个策略被证明最优。

Seg-Static

※否则，囚徒可以自己在脑内打乱所有抽屉的位置以达到同样的效果
因为在挑战开始之前有一个月时间商讨对策，所以囚徒可以在这段时间内约定好随机打乱抽屉的方式。另外，如果担心囚徒的策略被狱警知晓，也可以考虑迪菲赫尔曼密钥交换（前提是P≠NP），这是一种大声说悄悄话的方法，具体做法是利用非对称算法，使得两个没有任何共同知识的人知晓一个共同的关键词，并且任何窃听者无法通过两人的对话推理出这个关键词，之后这个关键词可以作为加密的秘钥使用。

※※另外直观地解释一下这个策略的含义，这里以10个人的情况举两个例子。

假如说10个抽屉与号码牌的对应关系如下：
1号抽屉→5号牌
2号抽屉→7号牌
3号抽屉→3号牌
4号抽屉→2号牌
5号抽屉→9号牌
6号抽屉→10号牌
7号抽屉→4号牌
8号抽屉→8号牌
9号抽屉→1号牌
10号抽屉→6号牌

1号囚徒首先打开自己的编号对应的抽屉即1号抽屉，取出5号号码牌，接着打开5号抽屉，取出9号号码牌，接着打开9号抽屉，取出1号号码牌，完成任务；
2号囚徒首先打开自己的编号对应的抽屉即2号抽屉，取出7号号码牌，接着打开7号抽屉，取出4号号码牌，接着打开4号抽屉，取出2号号码牌，完成任务；
……
10号囚徒首先打开自己的编号对应的抽屉即10号抽屉，取出6号号码牌，接着打开6号抽屉，取出10号号码牌，完成任务；

就这样，在这种对应关系下，所有囚徒都完成了任务；

假如说10个抽屉与号码牌的对应关系如下：
1号抽屉→2号牌
2号抽屉→8号牌
3号抽屉→5号牌
4号抽屉→6号牌
5号抽屉→1号牌
6号抽屉→4号牌
7号抽屉→10号牌
8号抽屉→9号牌
9号抽屉→3号牌
10号抽屉→7号牌

1号囚徒打开1号抽屉，取出2号号码牌；打开2号抽屉，取出8号号码牌；打开8号抽屉，取出9号号码牌；打开9号抽屉，取出3号号码牌；打开3号抽屉，取出5号号码牌；任务失败
4号囚徒打开4号抽屉，取出6号号码牌；打开6号抽屉，取出4号号码牌；任务成功