题解 [HDU6747] Rotate 期望 + 逆元

来源：2020 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛一

一个圈，从内到外一共被分成了 $n$ 个环，中间是空的。

我们把从外到内第 $i$ 层环平分成 $a[i]$ 份，其中 $a[i]$ 是偶数，我们把这 $a[i]$ 份黑白染色，第奇数个染成黑色，第偶数个染成白色。

现在我们旋转每一层，每一层都会等概率随机到一个中止位置。

问黑色的联通块数目的期望。两块黑色的区域有交点即算联通。层之间的旋转是相互独立的。

$1\le n\le 10,1\le a_i\le 1000,1\le T\le 10,a_i$ 是偶数且不降

因为 $a_i$ 为偶数且不降，可以发现相邻的黑块连边如同一棵树一样

$$\mathrm{连}\mathrm{通}\mathrm{块}\mathrm{数}\mathrm{量}=\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{层}\mathrm{的}\mathrm{黑}\mathrm{块}\mathrm{数}\mathrm{目}-\mathrm{每}\mathrm{层}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{黑}\mathrm{边}$$

黑块的数目和为 $\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{2}$ ，考虑每层黑边的期望数目

对于任意两层的任意两个黑块，他们相交的概率是 $\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_{i+1}}$ ，乘上他们的块数，就是期望的相交个数。

$$\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{2}-\sum _{i=1}^{n-1}(\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_{i+1}})\frac{a_i}{2}\frac{a_{i+1}}{2}=\frac{a[1]+a[n]}{4}$$

最后的式子由费马小定理可知当 $p$ 为质数时： $\frac{a[1]+a[n]}{4}=a[1]\times a[n]\times pow(4,p-2)modp$

---

代码 注意防止溢出

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int a[N];
ll qpow(ll a, ll b, ll p) {
    ll ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = a * a % p)
        if (b & 1)ans = ans * a % p;
    return ans;
}
int main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    int _; for (cin >> _; _--;) {
        int n;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i += 1) cin >> a[i];
        ll ans = 0;
        cout << ((a[1] + a[n]) * qpow(4, mod - 2, mod) % mod) << "\n";
    }
}