【算法学习笔记】Meissel-Lehmer 算法 (亚线性时间找出素数个数)
「Meissel-Lehmer 算法」是一种能在亚线性时间复杂度内求出
在看素数相关论文时发现了这个算法,论文链接:Here。
算法的细节来自 OI wiki,转载仅作为学习使用。
目前先 mark 一下这个算法,等有空的时候再来研究一下,算法的时间复杂度为
,所以 的范围可以扩大至 的级别;
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
//通过知道前面的 n^1/3 的质数可以推断后面n^2/3的质数所以可以适当减小
const int N = 9e3;
const int M = 2; //为了减小内存可以不过是质数
const int PM = 2 * 3 * 5; //为了减小内存可以不过要按质数减小如去掉17
ll n;
bool np[N];
int prime[N], pi[N];
int phi[PM + 1][M + 1], sz[M + 1];
int getprime() {
int cnt = 0;
np[0] = np[1] = true;
pi[0] = pi[1] = 0;
for (int i = 2; i < N; ++i) {
if (!np[i]) prime[++cnt] = i;
pi[i] = cnt;
for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] < N; ++j) {
np[i * prime[j]] = true;
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
return cnt;
}
void init() {
getprime();
sz[0] = 1;
for (int i = 0; i <= PM; ++i) phi[i][0] = i;
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
sz[i] = prime[i] * sz[i - 1];
for (int j = 1; j <= PM; ++j) phi[j][i] = phi[j][i - 1] - phi[j / prime[i]][i - 1];
}
}
int sqrt2(ll x) {
ll r = (ll)sqrt(x - 0.1);
while (r * r <= x) ++r;
return int(r - 1);
}
int sqrt3(ll x) {
ll r = (ll)cbrt(x - 0.1);
while (r * r * r <= x) ++r;
return int(r - 1);
}
ll getphi(ll x, int s) {
if (s == 0) return x;
if (s <= M) return phi[x % sz[s]][s] + (x / sz[s]) * phi[sz[s]][s];
if (x <= prime[s] * prime[s]) return pi[x] - s + 1;
if (x <= prime[s] * prime[s] * prime[s] && x < N) {
int s2x = pi[sqrt2(x)];
ll ans = pi[x] - (s2x + s - 2) * (s2x - s + 1) / 2;
for (int i = s + 1; i <= s2x; ++i) ans += pi[x / prime[i]];
return ans;
}
return getphi(x, s - 1) - getphi(x / prime[s], s - 1);
}
ll getpi(ll x) {
if (x < N) return pi[x];
ll ans = getphi(x, pi[sqrt3(x)]) + pi[sqrt3(x)] - 1;
for (int i = pi[sqrt3(x)] + 1, ed = pi[sqrt2(x)]; i <= ed; ++i) ans -= getpi(x / prime[i]) - i + 1;
return ans;
}
ll lehmer_pi(ll x) { //小于等于n的素数有多少个
if (x < N) return pi[x];
int a = (int)lehmer_pi(sqrt2(sqrt2(x)));
int b = (int)lehmer_pi(sqrt2(x));
int c = (int)lehmer_pi(sqrt3(x));
ll sum = getphi(x, a) + (ll)(b + a - 2) * (b - a + 1) / 2;
for (int i = a + 1; i <= b; i++) {
ll w = x / prime[i];
sum -= lehmer_pi(w);
if (i > c) continue;
ll lim = lehmer_pi(sqrt2(w));
for (int j = i; j <= lim; j++) sum -= lehmer_pi(w / prime[j]) - (j - 1);
}
return sum;
}
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
init();
while (cin >> n && n) cout << lehmer_pi(n) << "\n";
return 0;
}
OJ 上的几道相关的题:Here
记号规定
对于集合
Meissel-Lehmer 算法求 π(x)
定义
再定义
特殊的,我们定义:
这个无限和式实际上是可以表示为有限和式的,因为在
设
在
这样,计算
计算 P₂(x,a)
由等式
首先我们注意到
当
计算 ϕ(x,a)
对于
- 可以被
整除的; - 不可以被
整除的。
属于第
因此我们得出结论:
定理
: 函数 满足下列性质
计算
上图表示计算
但是,这样需要计算太多东西。因为
为了限制这个二叉树的“生长”,我们要改变原来的终止条件。这是原来的终止条件。
终止条件
: 如果 ,则不要再对节点 调用等式 。
我们把它改成更强的终止条件:
终止条件
: 如果满足下面 个条件中的一个,不要再对节点 调用等式 :
且 ; 。
我们根据 终止条件
- 如果叶子节点
满足 ,则称这种叶子节点为 普通叶子; - 如果叶子节点
满足 且 ,则称这种节点为 特殊叶子。
由此我们得出:
定理
: 我们有: 其中
表示 普通叶子 的贡献:
表示 特殊叶子 的贡献:
计算
计算 S
我们有:
我们将这个等式改写为:
其中:
注意到计算
如果不是这样,因为有
,所以有 ,这与 矛盾,所以原命题成立。
更多的,当
计算 S₁
因为:
所以:
所以计算
因此:
有了这个等式我们便可以在
计算 S₂
我们有:
我们将
其中:
计算 U
由
因此:
因此:
因为有
计算 V
对于计算
所以
其中:
预处理出
考虑我们如何加速计算
更准确的说,我们首先将
接着我们把这个式子改写为:
其中:
计算 W₁ 与 W₂
计算这两个值需要计算满足
计算 W₃
对于每个
计算 W₄
相比于
计算 W₅
我们像计算
计算 S₃
我们使用所有小于
算法的时空复杂度
时空复杂度被如下
- 计算
; - 计算
; - 计算
。
计算 P₂(x,y) 的复杂度
我们已经知道了这个过程的时间复杂度为
计算 W₁,W₂,W₃,W₄,W₅ 的复杂度
计算
计算
计算
因此,计算
计算
计算
计算 S₃ 的复杂度
对于预处理:由于要快速查询
对于求和:对于计算
总复杂度
这个算法的空间复杂度为
我们取
一些改进
我们在这里给出改进方法,以减少算法的常数,提高它的实际效率。
-
在 终止条件
中,我们可以用一个 来代替 ,其中 满足 。我们可以证明这样子计算 的时间复杂度可以优化到:这也为通过改变
的值来检查计算提供了一个很好的方法。 -
为了清楚起见,我们在阐述算法的时候选择在
处拆分来计算总和 ,但实际上我们只需要有 就可以计算。我们可以利用这一点,渐近复杂性保持不变。 -
用前几个素数
预处理计算可以节省更多的时间。
References
本文翻译自:Computing
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