【每日一题】9.数码（整除分块）

题目链接：Here

相关算法：整除分块

题意：

给定两个整数 $l$ 和 $r$ ，对于所有满足 $1\le l\le x\le r\le {10}^9$ 的 $x$， 把 $x$ 的所有约数全部写下来。对于每个写下来的数，只保留最高位的那个数码。输出 $1$ ~ $9$ 每个数码出现的次数。

思路：

一个很显然的思路是，枚举以 $x$ 开头的数，计算它的倍数在 $[l,r]$ 中出现的次数。

我们设 $f(n,i)$ 为 $i$ 的倍数在 $[1，n]$ 中出现的次数，那么有 $f(n,i)=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$

故而ii的倍数在 $[l,r]$ 中出现的次数就是 $f(r,i)-f(l-1,i)$

那么，题目中的问题便是对每个 $x\in [1,9]$ 求

$$\sum _{i=x·{10}^0}^{(x+1)·{10}^0-1}(f(r,i)-f(l-1),i)+\sum _{i=x·10}^{(x+1)·10-1}(f(r,i)-f(l-1),i)+\sum _{i=x·{10}^2}^{(x+1)·{10}^2-1}(f(r,i)-f(l-1),i)+.....$$

如果直接对枚举的区间进行计算，复杂度是 $\mathcal{O}(n)$ 的，这显然不能接受。

所以我们需要用到一个“整除分块”的技巧，以达到在 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 的复杂度下计算 $\sum _{i=x}^y\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$

AC 代码

using ll = long long;
ll get(int x, int v) {
    ll res = 0;
    for (ll pw = 1; pw <= x / v; pw *= 10) {
        int cur = v * pw, bound = min<ll>(x, cur + pw - 1);
        // 枚举区间[cur, bound]
        for (int i = cur, j; i <= bound; i = j + 1) {
            j = min(x / (x / i), bound);
            res += 1ll * (j - i + 1) * (x / i);
        }
    }
    return res;
}
void solve() {
    int l, r;
    cin >> l >> r;
    for (int i = 1; i <= 9; i++)
        cout << get(r, i) - get(l - 1, i) << "\n";
}