AtCoder Beginner Contest 175 （AB水，C数学，D思维+前缀和处理+进价思考，E方阵+条件DP，F新回文字符串处理 GJ）

补题链接：Here

A - Rainy Season

如果不是 RSR 型的话直接计算 R 的数量即可

B - Making Triangle

给定 $N$ 根长度分别为 $L_{i}$ 的棍子，问能组成多少个三边长度各不相同的三角形？如果两个三角形至少用了一根不同编号的棍子，则称它们是不同的三角形。

由于数据范文较小 ( $N \leq 100$ )，所以我们可以排序以后枚举三元组即可。

另外 CP wiki 提到这里进一步优化的话，可以在固定最长边的基础上，用双指针确定另外两条边的长度范围，这样时间复杂度就降到的了 $O (N^{2})$ 。

C - Walking Takahashi

题意：有一个数 $X$ ，对它进行 $K$ 次 $+ D$ 或 $- D$ 的操作，求操作后的 $min | X^{'} |$ 。

思路：

首先XX的正负不影响结果，所以我们可以只考虑 $| X |$ 。

如果 $| X | > D$ ，那么我们首先应该向原点移动，直到 $| X^{'} | < D$ 。这时还剩下 $K'$ 次操作，我们应当在原点的左右两侧来回移动。根据 $K'$ 的奇偶判断一下最后在哪一个位置即可。

using ll = long long;
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    ll X, K, D, R;
    cin >> X >> K >> D;
    if (X < 0) X = -X;
    R = X / D;
    if (K < R) {
        cout << (X - K * D);
        return 0;
    }
    K -= R, X -= R * D;
    cout << (K & 1 ? D - X : X);
    return 0;
}

D - Moving Piece

有 $N （ N \leq 5000 ）$ 个方格，从第 $i$ 个方格会跳到第 $P_{i}$ 个方格。PP是 $1, \dots, N$ 的一个排列。

每个方格上写了一个数字 $C_{i}$ 。每次跳跃时，会得到等同于 $C_{P_{i}}$ 的分数。你可以从任意方格开始，跳跃至少一次，至多 $K$ 次，求能够取得的最高分数。

思路：枚举起点。由于 $P$ 是排列，所以我们从任意位置 $i$ 开始，经过若干次跳跃后一定会回到 $i$ 。我们可以计算出一个周期内的前缀和。然后，根据周期长度 $C$ 与 $K$ 之间的关系，分情况讨论。

$K \leq C$ ，此时我们应该选择前 $K$ 个前缀和中的最大值。
$K > C$ ，令 $K = n c + r$ ，则我们可以选择
- 不循环，选择所有前缀和中的最大值。
- 循环 $n$ 次，再加上前 $r$ 个前缀和中的最大值。
- 循环 $n - 1$ 次，再加上所有前缀和中的最大值。
$O (N^{2})$

// Murabito-B 21/04/08
#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> p(n), c(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> p[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> c[i];
    ll ans = LLONG_MIN; // long long的最小值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        vector<bool> book(n);
        int idx        = i;
        vector<ll> sum = {0}, hi = {LLONG_MIN};
        while (!book[p[idx] - 1]) {
            idx       = p[idx] - 1;
            book[idx] = true;
            sum.emplace_back(sum.back() + c[idx]);
            hi.emplace_back(max(hi.back(), sum.back()));
        }
        int m = sum.size() - 1;
        int f = k / m, res = k % m;
        ll result = 0;
        if (f > 0) result = max(hi[m], max(sum[m] * f + (res == 0 ? 0 : hi[res]), sum[m] * (f - 1) + hi[m]));
        else
            result = hi[res];
        ans = max(ans, result);
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

另外如果 $N \leq 10^{5}$ 呢？应该如何改进算法？

这里想了很久，只想到了 RMQ解决但代码部分没写出来，只能转载一下 CP wiki 的了

提示一：

在上面的算法中，对于一个循环，设其长度为 $L$ ，我们实际上重复计算了 $L$ 次（针对每一个起点）。有没有可能减少这样的重复计算呢？

提示二

在每一个循环内，问题实际上可以转化为，给定一个由 $L$ 个数围成的圈，从中取出长度不超过 $K$ 的一段连续串，求能取得的最大和。

提示三

前缀和+RMQ。

// Murabito-B 21/04/08
#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
#define MAXN 5005
#define K 15
using namespace std;
const ll LO = -1e16;
int n, k;

ll st[MAXN * 2][K];

ll query(int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    int j   = log2(len);
    return min(st[l][j], st[r - (1 << j) + 1][j]);
}

ll solve(vector<int> &v) {
    int len      = v.size();
    vector<ll> s = {0};
    for (int i = 0; i < 2 * len; ++i)
        s.emplace_back(s.back() + v[i % len]);
    int slen = s.size();
    for (int i = 0; i < slen; ++i)
        st[i][0] = s[i];
    for (int j = 1; j <= log2(slen); ++j)
        for (int i = 0; i < slen; ++i) {
            st[i][j]  = st[i][j - 1];
            int right = i + (1 << (j - 1));
            if (right < slen)
                st[i][j] = min(st[i][j], st[right][j - 1]);
        }
    ll sum = s[len], hi_r = LO, hi_all = LO;
    int r = k % len;
    for (int i = 1; i < slen; ++i) {
        if (r)
            hi_r = max(hi_r, s[i] - query(max(0, i - r), i - 1));
        hi_all = max(hi_all, s[i] - query(max(0, i - len), i - 1));
    }
    if (k < len)
        return hi_r;
    return max(hi_all, max(sum * (k / len - 1) + hi_all, sum * (k / len) + hi_r));
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    vector<int> p(n), c(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> p[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> c[i];
    ll ans = LO;
    vector<bool> vis(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (vis[i])
            continue;
        vector<int> v;
        int idx = i;
        while (!vis[p[idx] - 1]) {
            idx      = p[idx] - 1;
            vis[idx] = true;
            v.emplace_back(c[idx]);
        }
        ans = max(ans, solve(v));
    }
    cout << ans;
}

E - Picking Goods

$R$ 行 $C$ 列的方阵，其中有 $K$ 个格子里有东西，第ii个东西的价值为 $v_{i}$ 。从左上角走到右下角，只能向下或向右走，限定每行最多拿 $3$ 个东西，求能取得的最大价值。

简单的方阵 DP 再加一维记录当前行取了几个东西即可。因为 $3$ 是常数，所以总时间复杂度为： $O (R C)$ 。

// Murabito-B 21/04/08
#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;
ll dp[3010][3010][4] = {0};
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int R, C, K;
    cin >> R >> C >> K;
    vector<vector<int>> a(R + 1, vector<int>(C + 1));
    for (int i = 0; i < K; ++i) {
        int r, c, v;
        cin >> r >> c >> v;
        a[r][c] = v;
    }
    for (int i = 1; i <= R; ++i)
        for (int j = 1; j <= C; ++j) {
            for (int k = 0; k <= 3; ++k)
                dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i - 1][j][k]);
            for (int k = 0; k <= 3; ++k)
                dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i][j - 1][k]);
            if (a[i][j])
                for (int k = 3; k > 0; --k)
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i][j][k - 1] + a[i][j]);
        }
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i <= 3; ++i) ans = max(ans, dp[R][C][i]);
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

F - Making Palindrome

F 题是懵逼ing

有 $N$ （ $N \leq 50$ ）个长度不超过 $L$ （ $L \leq 20$ ）的字符串，每个字符串可以使用无限次，第ii个字符串使用一次的代价为 $C_{i}$ 。问最少花费多少代价，能够用这些字符串组成一个回文串？或者说明无解。

大佬题解：

直接搜索，状态似乎是无穷无尽的。如何减少状态空间，让搜索变为可能？

我们考虑从左右两边分别构建字符串。最开始，左边和右边都是空的。我们希望最后能将左边部分和右边部分进行匹配。这里，匹配的意思是，对于串 $A$ 和 $B$ ，两串中较短的那串是较长那串的子串。在匹配之后，如果剩下的部分是一个回文串（或为空），则我们就成功构建了一个回文串。

我们每次可以把某个字符串加入到左边或右边，这样就得到一个中间状态。在转移过程中，我们应当保证始终只有至多一边有未匹配部分，而其余部分都应该得到匹配。也就是说，如果当前左边有未被匹配的部分，我们就把新字符串添加到右边；反之亦然。

从而，我们只需要保存当前未被匹配的部分。而因为我们总是在相反的一边添加，这里的未被匹配部分必定为原来某个字符串的前缀或后缀。这样，我们就把总状态数限制到了 $O (N L)$ 。

此时，原题就变成了一个最短路径问题。因为数据范围很小，可以用各种最短路径算法来求解。

// Murabito-B 21/04/08
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
#define INF 10000000000000000LL
bool is_palindrome(string &s) {
    int n = s.size();
    for (int i = 0; i < n / 2; ++i)
        if (s[i] != s[n - i - 1])
            return false;
    return true;
}

int n;
unordered_map<string, ll> memo[2];
unordered_set<string> vis[2];
vector<string> S[2];
vector<ll> C;
ll dfs(string s, int p) {
    if (memo[p].count(s))
        return memo[p][s];
    if (is_palindrome(s))
        return 0;
    if (vis[p].count(s))
        return INF;
    vis[p].insert(s);
    ll ans = INF;
    int ls = s.size();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        string t  = S[!p][i];
        int lt    = t.size();
        int l     = min(ls, lt);
        string ps = s.substr(0, l);
        string pt = t.substr(0, l);
        if (ps != pt)
            continue;
        ll cost =
            ls > lt ? dfs(s.substr(l, ls - l), p) : dfs(t.substr(l, lt - l), !p);
        if (cost < ans)
            ans = min(ans, cost + C[i]);
    }
    vis[p].erase(s);
    memo[p][s] = ans;
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n;
    S[0]   = vector<string>(n);
    S[1]   = vector<string>(n);
    C      = vector<ll>(n);
    ll ans = INF;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> S[0][i] >> C[i];
        S[1][i] = string(S[0][i].rbegin(), S[0][i].rend());
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        ans = min(ans, dfs(S[0][i], 0) + C[i]);
    cout << (ans == INF ? -1 : ans);
}