【每日一题】3.数学考试 （前缀和，线性DP）

题目链接：Here

思路：区间求和问题可以想到一个常用算法。前缀和。区间 $[l,r]$ 的和可以用 $su{m}_r-su{m}_l$ 方便求出

由于区间长度 $k$ 已知，所以我们可以直接选择暴力枚举两个区间的起点然后利用前缀和快速求和。

具体细节如下：

直接从 $k$ 出发，用 cnt 比较出 $k$ 之前最大区间和，用 ans 比较出 $k$ 之后的最大区间和

• 时间复杂度：$\mathcal{O}(N)$

注意点：数据范围较大，注意使用 long long

using ll = long long;
using namespace std;
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int _;
    for (cin >> _; _--;) {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        vector<ll> a(n + 2);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i], a[i] = a[i - 1] + a[i];
        ll ans = -1e18, cnt = -1e18;
        for (int i = k; i + k <= n; ++i) {
            cnt = max(cnt, a[i] - a[i - k]);
            ans = max(ans, cnt + a[i + k] - a[i]);
        }
        cout << ans << "\n";
    }
    return 0;
}

当然这道题不仅仅是枚举起点一种解法，也可以用线性 DP

在我们预处理完前缀和后，如何获得某个位置之和的最大区间呢？我们可用线性 $DP$ 求得，设 $f{1}_i$ 表示位置 $i$ 之前的最大区间和，而 $f{2}_i$ 表示 $i$ 之后的最大区间和。

• $f{1}_i=max(f{1}_{i-1},su{m}_i-su{m}_{i-k})$
• $f{2}_i=max(f{2}_{i+1},su{m}_{i+k-1}-su{m}_{i-1})$

using ll = long long;
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
ll f1[N], f2[N];
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int _;
    for (cin >> _; _--;) {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        vector<int> a(n + 1);
        vector<ll> sum(n + 1, 0);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> a[i];
            sum[i] = a[i] + sum[i - 1];
        }
        memset(f1, -127, sizeof f1);
        memset(f2, -127, sizeof f2);
        for (int i = k; i <= n - k; ++i)
            f1[i] = max(sum[i] - sum[i - k], f1[i - 1]);
        for (int i = n - k + 1; i >= k + 1; --i)
            f2[i] = max(sum[i + k - 1] - sum[i - 1], f2[i + 1]);
        ll ans = -1e18;

        for (int i = k; i <= n - k; ++i)
            ans = max(ans, f1[i] + f2[i + 1]);
        cout << ans << "\n";
    }
    return 0;
}

最后是不是感觉代码二是代码一的详细版本？

本质上两个代码是一样的（代码一在空间上更优），这里只是稍微展开来。