i 的二次幂求和

学习 自为风月马前卒 大佬的数学笔记

$i^2$ 求和

查阅资料我们很容易就发现 $\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

但具体怎么求得的呢？今天偶然间在 Miskcoo大佬的博客中看到了一种脑洞清奇通俗易懂的证明方法

我们要求 $S_n=\sum _{i=1}^n{i}^2$，现在我们对 $C_n=\sum _{i=1}^n{i}^3$ 进行转换

首先列一个恒等式

$$\sum _{i=1}^{n+1}{i}^3=C_n+(n+1{)}^3$$

这里有个骚操作是把前面的转化一下

$$\sum _{i=0}^n(i+1{)}^3=C_n+(n+1{)}^3$$

然后就可以推柿子啦，

$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^n{i}^3+3i^2+3i+1=C_n+(n+1{)}^3 \\ {C}_n+3S_n+3\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=C_n+(n+1{)}^3 \\ \Rightarrow S_n=\frac{2(n+1{)}^3-3n(n+1)-2(n+1)}{6} \\ =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{gathered}$$

同时这个方法具有非常强的扩展性，我们也可以推导出 $i^k$ 的公式，但是计算起来的复杂度却是$k^2$的，感觉还是拉格朗日插值 $klogk$ 好用一些

把 $1,2,\dots n$ 带入维护前缀积后缀积可以做到 $klogk$