【算法学习笔记】倍增

倍增

倍增是一种非常重要的思想，在 ACM/OI 中有着丰富的应用。

倍增的本质可以表述为，对于一种操作$f(x)$，通过计算$f(x),f^2(x),f^4(x),\cdots ,f^{2^k}(x)$来加速求解$f^n(x)$。假设$f(x)$的时间复杂度为$O(1)$，那么直接计算$f^n(x)$的时间复杂度为$O(n)$，而通过倍增的方法，则可以加速到$O(\log n)$。

快速幂

快速幂是倍增最常见的应用场景。所谓快速幂，指的是快速求解数$x$在模$m$意义下的幂$x^y\mathrm{mod}m$。

递归求解

比较直接的想法是递归进行求解。很容易得到下面的递归式：

$$x^y=\{\begin{array}{rlr}& 1& y=0\\ & (x^{\frac{y}{2}}{)}^2& y\text{为大于0的偶数}\\ & (x^{\frac{y-1}{2}}{)}^2\cdot x& y\text{为大于0的奇数}\end{array}$$

模板题：洛谷P1226

注意使用 long long 保证数据不溢出

Code(C++)

#include <iostream>
using namespace std;
using ll = long long;
int qpow(int b, int p, int k) {
    if (p == 0) return 1 % k;
    int half = qpow(b, p / 2, k);
    int ans = (ll)half * half % k;
    if (p & 1) ans = (ll)ans * b % k;
    return ans;
}
// 求 b^p mod k
int main() {
    int b, p, k;
    cin >> b >> p >> k;
    cout << b << "^" << p << " mod " << k << "=" << qpow(b, p, k);
    return 0;
}

递归方法对于快速幂已经足够，但其缺乏足够的普适性，无法推广到更加一般性的问题。

迭代求解

与递归方法相比，迭代方法的思想更加贴近倍增方法的本质。利用$x^y=x^{\sum _{i=0}^k{c}_i{2}^i}$，我们可以从$x^1,x^2,\cdots ,x^{2^k}$来计算出$x^y$，而这些数值本身是可以通过反复进行平方运算在$O(k)=O(\log y)$的时间内求得的。这里我们需要得到一个非负整数的二进制表示（从低位到高位），只需要不断除以2取余即可。

模板题：洛谷P1226

注意使用 long long 保证数据不溢出

Code(C++)

using ll = long long;
int qpow(int a, int b, int k) {
    int ans = 1 % k;
    for (; b; b >>= 1, a = (ll)a * a % k)
        if (b & 1) ans = (ll)ans * a % k;
    return ans;
}
// 求 b^p mod k
int main() {
    int b, p, k;
    cin >> b >> p >> k;
    cout << b << "^" << p << " mod " << k << "=" << qpow(b, p, k);
    return 0;
}

倍增思想的推广

快速乘

将快速幂中的乘法运算替换为加法运算，我们就可以得到快速乘的算法，也即用$O(\log n)$次加法运算来实现乘$n$的操作。

快速乘模板代码：

// 迭代实现
inline ll ksc(ll x, ll y, ll mod) {
    ll res = 0;
    for (; y; y >>= 1, x = (x << 1) % mod)
        if (y & 1) res = (res + x) % mod;
    return res;
}

// O(1)快速乘
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lb;
//代码压缩
inline ll Ksc(ull x, ull y, ll p) {  
    return (x * y - (ull)((lb)x / p * y) * p + p) % p;
}

矩阵快速幂

将快速幂中的底数改为一个方阵，并将整数乘法改为矩阵乘法，我们就可以得到矩阵快速幂的算法。

倍增法求LCA

如果把$f(x)$看作是求取$x$的父节点，那么$f^n(x)$就可以是看成求取$x$第$n$代的祖先节点。倍增法求LCA的关键就是用倍增方法来快速求取$f^n(x)$。

稀疏表

稀疏表是一种用于RMQ（区间最值查询）的数据结构。稀疏表的构建同样使用了倍增的思想。