Codeforces Round #695 (Div. 2)

A. Wizard of Orz

题意：给定一排 $n$ 个个位计时器，每秒都会 +1，并且 9 + 1 = 0。如果在某瞬间暂停某个计时器，那下一秒 $i - 1$ $i + 1$ 也会停止，以此类推至全部计时器停止，问在那秒停止会使显示的数字最大。

思路：要使显示数字最大，使首位为 $9$ 即可，在第二个计时器到 8 的时候暂停一定最大。

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    for (cin >> _; _--;) {
        int n; cin >> n;
        cout << 9;
        for (int i = 1; i < n; ++i) cout << (i + 7) % 10;
        cout << "\n";
    }
    return 0;
}

B. Hills And Valleys

山谷定义看题意，循环一次数组把 $a_{i}$ 分别用 $a_{i + 1}$ 和 $a_{i - 1}$ 代替求算 山谷和。

模拟的时候发现 ans 其实最多为 2（0，1，2），

比如在 6 1 5 4 5，这组数据把 $a_{3}$ 替换为 1 时 ans = 2.

具体代码实现

using ll = long long;
int _, n;
vector<ll> a;
bool check(int i) {
    if (i == 0 || i == n - 1) return false;
    return (a[i] > a[i + 1] && a[i] > a[i - 1]) ||
           (a[i] < a[i + 1] && a[i] < a[i - 1]);
}
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    for (cin >> _; _--;) {
        cin >> n;
        a = vector<ll>(n);
        for (auto& x : a) cin >> x;
        int ans = 0, cnt = 0;
        for (int i = 1, b, c; i < n - 1; ++i) {
            int t = a[i];
            cnt += check(i);
            b = c = check(i) + check(i - 1) + check(i + 1);
            a[i] = a[i + 1], b -= check(i - 1);
            a[i] = a[i - 1], c -= check(i + 1);
            ans = max({ans, b, c});
            a[i] = t;
        }
        cout << cnt - ans << "\n";
    }
    return 0;
}

C. Three Bags

我们有三个背包，可以进行一种操作：

移除一个背包中的一个数b，另一个背包中的一个数a变为a-b

问我们最后剩余的一个数最大可以为多少？

那么我们可以考虑最后剩余的一个数在哪个背包中，我们以在A背包中为例。

我们有三个背包，可以进行一种操作：

移除一个背包中的一个数b，另一个背包中的一个数a变为a-b

问我们最后剩余的一个数最大可以为多少？

那么我们可以考虑最后剩余的一个数在哪个背包中，我们以在A背包中为例。

对于A背包中的数来说

我们将A背包的数作为b转移出去，再转移回来，负负得正，那么最后一个数可以加上A背包中所有的数的和

那么对于B和C背包来说有两种情况

B背包和C背包都剩下一个数，B、C背包中其他的数通过除了A之外的另一个背包先转换为 -b ，再转移到A背包中变为 b，随后在A背包中减去B、C背包中剩下的这个数，那么显然，当剩下的这两个数最小时，结果最优。
B背包和C背包只有一个背包剩下一个数，那么这种情况就是，其中一个背包全部作为-b转移到除了A背包之外的另一个背包，再转移到A背包中就变为了 b ，剩下的那个背包全部作为-b转移到A背包中。

我们将A背包的数作为b转移出去，再转移回来，负负得正，那么最后一个数可以加上A背包中所有的数的和

那么对于B和C背包来说有两种情况

B背包和C背包都剩下一个数，B、C背包中其他的数通过除了A之外的另一个背包先转换为 -b ，再转移到A背包中变为 b，随后在A背包中减去B、C背包中剩下的这个数，那么显然，当剩下的这两个数最小时，结果最优。
B背包和C背包只有一个背包剩下一个数，那么这种情况就是，其中一个背包全部作为-b转移到除了A背包之外的另一个背包，再转移到A背包中就变为了 b ，剩下的那个背包全部作为-b转移到A背包中。

using ll = long long;
int _;
vector<ll> w[3];
vector<int> n(3);
ll cal() {
    ll ans = 0, s1 = 0, s2 = 0, m1 = w[1][0], m2 = w[2][0];
    for (int i = 0; i < n[0]; i++) ans += w[0][i];
    for (int i = 1; i < n[1]; i++) s1 += w[1][i];
    for (int i = 1; i < n[2]; i++) s2 += w[2][i];

    ans += max({s1 + s2 - m1 - m2, s1 + m1 - s2 - m2, s2 + m2 - s1 - m1});
    return ans;
}
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    for (int i = 0; i < 3; ++i) cin >> n[i];
    w[0].resize(n[0]), w[1].resize(n[1]), w[2].resize(n[2]);
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {
        for (int j = 0; j < n[i]; ++j) cin >> w[i][j];
        sort(w[i].begin(), w[i].end());
    }
    ll ans = -1e18;
    // 现在考虑三种情况
    ans = max(ans, cal());  // A,B,C

    swap(w[0], w[1]), swap(n[0], n[1]);
    ans = max(ans, cal());  // B,A,C

    swap(w[0], w[2]), swap(n[0], n[2]);
    ans = max(ans, cal());  // C,A,B

    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

D. Sum of Paths

题意

有个机器人在 $[1, n]$ 的直线方格上面走 $k$ 步，求所有路线下每个格子经过的次数。

思路

$d p [i, j]$ :走 $i$ 步到 $j$ 方格的路线数。
对于每一个方格，枚举他作为中转点即可。

s u m [i] = (s u m [i] + d p [j, i] * d p [k - j, i] % m o d) % m o d

using ll = long long;
const int MXN = 5e3 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
ll a[MXN];
ll dp[MXN][MXN];
ll sum[MXN];
int main() {
    int n, k, q;
    cin >> n >> k >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) dp[0][i] = 1;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][n] = dp[i - 1][n - 1];
        for (int j = 2; j < n; j++) {
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j + 1]) % mod;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= k; j++)
            sum[i] = (sum[i] + dp[j][i] * dp[k - j][i] % mod) % mod;
    }

    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans = (ans + sum[i] * a[i] % mod) % mod;
    while (q--) {
        ll i, x;
        scanf("%lld%lld", &i, &x);
        ans =
            ((ans - sum[i] * a[i] % mod + sum[i] * x % mod) % mod + mod) % mod;
        cout << ans << '\n';
        a[i] = x;
    }
    return 0;
}