数论（9）：费马小定理与欧拉定理
概述：
费马小定理和欧拉定理是数论中非常重要的两个定理,对解决整除问题和同余问题有着强大的功能。
费马小定理与欧拉定理
费马小定理：当 \(m\) 为质数且 \(a\) 不为 \(m\) 的倍数（即：\(gcd(a,m) = 1\)时有 $a^{m−1}≡1\ mod\ (m) $
另一个形式：对于任意整数 \(a\) ，有 \(a^m \equiv a \pmod{m}\) 。
根据费马小定理可知： \(a^{m−2}\) 就是 \(a\) 在模 \(m\) 意义下的逆元.
欧拉定理：当 \(a\) , \(m\) 互质时, \(aϕ(m)≡\ 1\ mod\ (m)\) （这个式子也可以求逆元）
其实根据欧拉函数，我们可以看出费马小定理就是欧拉定理的特殊情况，因为若 \(m\) 为质数：$ ϕ(m)=m−1$
简单来说欧拉函数 φ(n) 是小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。
费马小定理证明
设一个质数为 \(p\) ，我们取一个不为 \(p\) 倍数的数 \(a\) 。
构造一个序列： \(A=\{1,2,3\dots,p-1\}\) ，这个序列有着这样一个性质：
证明：
又因为每一个 \(A_i\times a \pmod p\) 都是独一无二的，且 \(A_i\times a \pmod p < p\)
得证（每一个 \(A_i\times a\) 都对应了一个 \(A_i\) )
设 \(f=(p-1)!\) , 则 \(f\equiv a\times A_1\times a\times A_2\times a \times A_3 \dots \times A_{p-1} \pmod p\)
证毕。
应用
首先看一个基本的例子。
令 \(a = 3，n = 5\)，这两个数是互素的。
比 \(5\) 小的正整数中与 \(5\) 互素的数有 \(1、2、3和4\)，所以 \(φ(5)=4\)。
计算: \(a^{φ(n)} = 3^4 =81\)，而 \(81= 80 + 1 ≡ 1 （mod\ 5）\)。
与定理结果相符。
简化幂的模运算
这个定理可以用来简化幂的模运算。
比如计算\(7^{222}\)的个位数，实际是求7\(^{222}\)被\(10\)除的余数。
\(7\)和\(10\)互素，且\(φ(10)=4\)。
由欧拉定理知\(7^4≡1\ (mod\ 10)\)。
所以\(7^{222}=(7^4)^55*(7^2)≡1^{55}*7^2≡49≡9\ (mod\ 10)\)。
欧拉定理证明
实际上这个证明过程跟上文费马小定理的证明过程是非常相似的： 构造一个与 \(m\) 互质的数列 ，再进行操作。
设 \(r_1, r_2, \cdots, r_{\varphi(m)}\) 为模 \(m\) 意义下的一个简化剩余系，则 \(ar_1, ar_2, \cdots, ar_{\varphi(m)}\) 也为模 \(m\) 意义下的一个简化剩余系。所以 \(r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \equiv ar_1 \cdot ar_2 \cdots ar_{\varphi(m)} \equiv a^{\varphi(m)}r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \pmod{m}\) ，可约去 \(r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)}\) ，即得 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\) 。
当 \(m\) 为素数时，由于 \(\varphi(m) = m - 1\) ，代入欧拉定理可立即得到费马小定理。
参考
Wiki：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
