数论（9）：费马小定理与欧拉定理

概述：

费马小定理和欧拉定理是数论中非常重要的两个定理,对解决整除问题和同余问题有着强大的功能。

费马小定理与欧拉定理

费马小定理：当 $m$ 为质数且 $a$ 不为 $m$ 的倍数（即： $g c d (a, m) = 1$ 时有 $a^{m - 1} \equiv 1 m o d (m)$

另一个形式：对于任意整数 $a$ ，有 $a^{m} \equiv a (\mod m)$ 。

根据费马小定理可知： $a^{m - 2}$ 就是 $a$ 在模 $m$ 意义下的逆元.

欧拉定理：当 $a$ , $m$ 互质时, $a ϕ (m) \equiv 1 m o d (m)$ （这个式子也可以求逆元）

其实根据欧拉函数，我们可以看出费马小定理就是欧拉定理的特殊情况，因为若 $m$ 为质数： $ϕ (m) = m - 1$

简单来说欧拉函数 φ(n) 是小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。

费马小定理证明

设一个质数为 $p$ ，我们取一个不为 $p$ 倍数的数 $a$ 。

构造一个序列： $A = {1, 2, 3 \dots, p - 1}$ ，这个序列有着这样一个性质：

\prod_{i = 1}^{n} A_{i} \equiv \prod_{i = 1}^{n} (A_{i} \times a) (\mod p)

证明：

∵ (A_{i}, p) = 1, (A_{i} \times a, p) = 1

又因为每一个 $A_{i} \times a (\mod p)$ 都是独一无二的，且 $A_{i} \times a (\mod p) < p$

得证（每一个 $A_{i} \times a$ 都对应了一个 $A_{i}$ )

设 $f = (p - 1)!$ , 则 $f \equiv a \times A_{1} \times a \times A_{2} \times a \times A_{3} \dots \times A_{p - 1} (\mod p)$

a^{p - 1} \times f \equiv f (\mod p) a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

证毕。

应用

首先看一个基本的例子。

令 $a = 3 ， n = 5$ ，这两个数是互素的。

比 $5$ 小的正整数中与 $5$ 互素的数有 $1 、 2 、 3 和 4$ ，所以 $φ (5) = 4$ 。

计算: $a^{φ (n)} = 3^{4} = 81$ ，而 $81 = 80 + 1 \equiv 1 （ m o d 5 ）$ 。

与定理结果相符。

简化幂的模运算

这个定理可以用来简化幂的模运算。

比如计算 $7^{222}$ 的个位数，实际是求7 $^{222}$ 被 $10$ 除的余数。

$7$ 和 $10$ 互素，且 $φ (10) = 4$ 。

由欧拉定理知 $7^{4} \equiv 1 (m o d 10)$ 。

所以 $7^{222} = (7^{4})^{5} 5 * (7^{2}) \equiv 1^{55} * 7^{2} \equiv 49 \equiv 9 (m o d 10)$ 。

欧拉定理证明

实际上这个证明过程跟上文费马小定理的证明过程是非常相似的： 构造一个与 $m$ 互质的数列 ，再进行操作。

设 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{φ (m)}$ 为模 $m$ 意义下的一个简化剩余系，则 $a r_{1}, a r_{2}, \dots, a r_{φ (m)}$ 也为模 $m$ 意义下的一个简化剩余系。所以 $r_{1} r_{2} \dots r_{φ (m)} \equiv a r_{1} \cdot a r_{2} \dots a r_{φ (m)} \equiv a^{φ (m)} r_{1} r_{2} \dots r_{φ (m)} (\mod m)$ ，可约去 $r_{1} r_{2} \dots r_{φ (m)}$ ，即得 $a^{φ (m)} \equiv 1 (\mod m)$ 。