神奇的字符串匹配：扩展KMP算法
引言
一个算是冷门的算法（在竞赛上），不过其算法思想值得深究。
前置知识
- kmp的算法思想，具体可以参考 → Click here
- trie树（字典树）。
正文
问题定义：给定两个字符串 S 和 T（长度分别为 n 和 m），下标从 0 开始，定义 extend[i] 等于 S[i]...S[n-1] 与 T 的最长相同前缀的长度，求出所有的 extend[i]。举个例子，看下表：
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S | a | a | a | a | a | b | b | b |
| T | a | a | a | a | a | c | ||
| extend[i] | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
为什么说这是 KMP 算法的扩展呢？显然，如果在 S 的若干个位置 i 有 extend[i] 等于 m，则可知在 S 中找到了匹配串 T，并且匹配的首位置是 i，这就是标准的KMP问题。但是，扩展 KMP 算法可以找到 S 中所有 T 的匹配。接下来具体介绍下这个算法。
算法流程
（1）
如上图，假设当前遍历到 S 串位置 i，即 extend[0]...extend[i - 1]这 i 个位置的值已经计算得到。设置两个变量，a 和 p。p 代表以 a 为起始位置的字符匹配成功的最右边界，也就是 "p = 最后一个匹配成功位置 + 1"。相较于字符串 T 得出，S[a...p) 等于 T[0...p-a)。
再定义一个辅助数组 int next[]，其中 next[i] 含义为：T[i]...T[m - 1] 与 T 的最长相同前缀长度，m 为串 T 的长度。举个例子：
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | a | a | a | a | a | c |
| next[i] | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
（2）
S[i] 对应 T[i - a]，如果 i + next[i - a] < p，如上图，三个椭圆长度相同，根据 next 数组的定义，此时 extend[i] = next[i - a]。
（3）
如果 i + next[i - a] == p 呢？如上图，三个椭圆都是完全相同的，S[p] != T[p - a] 且 T[p - i] != T[p - a]，但 S[p] 有可能等于 T[p - i]，所以我们可以直接从 S[p] 与 T[p - i] 开始往后匹配，加快了速度。
（4）
如果 i + next[i - a] > p 呢？那说明 S[i...p) 与 T[i-a...p-a) 相同，注意到 S[p] != T[p - a] 且 T[p - i] == T[p - a]，也就是说 S[p] != T[p - i]，所以就没有继续往下判断的必要了，我们可以直接将 extend[i] 赋值为 p - i。
（5）最后，就是求解 next 数组。我们再来看下 next[i] 与 extend[i] 的定义：
- next[i]：
T[i]...T[m - 1]与 T 的最长相同前缀长度； - extend[i]：
S[i]...S[n - 1]与 T 的最长相同前缀长度。
恍然大悟，求解 next[i] 的过程不就是 T 自己和自己的一个匹配过程嘛，下面直接看代码。
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//求解 T 中 next[]，注释参考 GetExtend()
void GetNext(string& T, int& m, int next[]) {
int a = 0, p = 0;
next[0] = m;
for (int i = 1; i < m; ++i)
if (i >= p || i + next[i - a] >= p) {
if (i >= p)
p = i;
while (p < m && T[p] == T[p - i])
p++;
next[i] = p - i;
a = i;
}
else
next[i] = next[i - a];
}
// 求解 extend[]
void GetExtend(string& S, int& n, string& T, int& m, int extend[], int next[]) {
int a = 0, p = 0;
GetNext(T, m, next);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
// i >= p 的作用：举个典型例子，S 和 T 无一字符相同
if (i >= p || i + next[i - a] >= p) {
if (i >= p)
p = i;
while (p < n && p - i < m && S[p] == T[p - i])
p++;
extend[i] = p - i;
a = i;
}
else
extend[i] = next[i - a];
}
}
int main() {
int next[100], extend[100];
string S, T;
int n, m;
while (cin >> S >> T) {
int n = S.length();
int m = T.length();
GetExtend(S, n, T, m, extend, next);
// 打印 next
cout << "next: ";
for (int i = 0; i < m; ++i)
cout << next[i] << " ";
// 打印 extend
cout << "\nextend: ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << extend[i] << " ";
cout << endl << endl;
}
return 0;
}
数据测试如下：
aaaaabbb
aaaaac
next: 6 4 3 2 1 0
extend: 5 4 3 2 1 0 0 0
abc
def
next: 3 0 0
extend: 0 0 0
参考
OI Wiki：https://oi-wiki.org/string/z-func/
拓展kmp算法总结：https://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/41831947
