数论（7）：康托展开&逆康托展开

康托展开可以用来求一个 $1\sim n$ 的任意排列的排名。

什么是排列的排名？

把 $1\sim n$ 的所有排列按字典序排序，这个排列的位次就是它的排名。

时间复杂度？

康托展开可以在 $O(n^2)$ 的复杂度内求出一个排列的排名，在用到树状数组优化时可以做到 $O(n\log n)$ 。

怎么实现？

因为排列是按字典序排名的，因此越靠前的数字优先级越高。也就是说如果两个排列的某一位之前的数字都相同，那么如果这一位如果不相同，就按这一位排序。

比如 $4$ 的排列， $[2,3,1,4]<[2,3,4,1]$ ，因为在第 $3$ 位出现不同，则 $[2,3,1,4]$ 的排名在 $[2,3,4,1]$ 前面。

举个栗子

我们知道长为 $5$ 的排列 $[2,5,3,4,1]$ 大于以 $1$ 为第一位的任何排列，以 $1$ 为第一位的 $5$ 的排列有 $4!$ 种。这是非常好理解的。但是我们对第二位的 $5$ 而言，它大于 第一位与这个排列相同的，而这一位比 $5$ 小的 所有排列。不过我们要注意的是，这一位不仅要比 $5$ 小，还要满足没有在当前排列的前面出现过，不然统计就重复了。因此这一位为 $1,3$ 或 $4$ ，第一位为 $2$ 的所有排列都比它要小，数量为 $3\times 3!$ 。

按照这样统计下去，答案就是 $1+4!+3\times 3!+2!+1=46$ 。注意我们统计的是排名，因此最前面要 $+1$ 。

注意到我们每次要用到 当前有多少个小于它的数还没有出现 ，这里用树状数组统计比它小的数出现过的次数就可以了。

原理总结：

$$\begin{gathered} X=A[0]\ast (n-1)!+A[1]\ast (n-2)!+\dots +A[n-1]\ast 0! \\ （A[i]\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{在}\mathrm{位}\mathrm{置}i\mathrm{后}\mathrm{比}\mathrm{位}\mathrm{置}i\mathrm{上}\mathrm{数}\mathrm{小}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}） \end{gathered}$$

• 注意到我们每次要用到 当前有多少个小于它的数还没有出现
• 这里用树状数组统计比它小的数出现过的次数就可以了，可以优化到 O(nlogn)

代码

先预处理阶乘：

void init(){
    fact[0] = 1;
    for(int i = 2;i <= 9; ++i) fact[i] = fact[i - 1]  * i;
    //递推求阶乘
}
//或者直接打表
int fact[10] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};

$cantor$ 函数

int cantor(int a[],int n){
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < n; ++i){
        int cnt = 0;
        for(int j = i + ;j < n; ++j)++cnt;
        // 找到a[i]是当前数列中未出现的数中第几小的
        // 从1开始，即1-n的全排列
        // 从0开始，就变成了0-n的全排列，记得变通
        ans += cnt * fact[n - i - 1];
    }
    return ans + 1;//如果输出的是排名就要 + 1，如果是hash值可以直接返回 ans
}

逆康托展开

而逆康托展开相当于，反过来操作

因为排列的排名和排列是一一对应的，所以康托展开满足双射关系，是可逆的。可以通过类似上面的过程倒推回来。

如果我们知道一个排列的排名，就可以推出这个排列。因为 $4!$ 是严格大于 $3\times 3!+2\times 2!+1\times 1!$ 的，所以可以认为对于长度为 $5$ 的排列，排名 $x$ 除以 $4!$ 向下取整就是有多少个数小于这个排列的第一位。

引用上面展开的例子

首先让 $46-1=45$ ， $45$ 代表着有多少个排列比这个排列小。 $\lfloor \frac{45}{4!}\rfloor =1$ ，有一个数小于它，所以第一位是 $2$ 。

此时让排名减去 $1\times 4!$ 得到 $21$ ， $\lfloor \frac{21}{3!}\rfloor =3$ ，有 $3$ 个数小于它，去掉已经存在的 $2$ ，这一位是 $5$ 。

$21-3\times 3!=3$ ， $\lfloor \frac{3}{2!}\rfloor =1$ ，有一个数小于它，那么这一位就是 $3$ 。

让 $3-1\times 2!=1$ ，有一个数小于它，这一位是剩下来的第二位， $4$ ，剩下一位就是 $1$ 。即 $[2,5,3,4,1]$ 。

实际上我们得到了形如 有两个数小于它 这一结论，就知道它是当前第 $3$ 个没有被选上的数，这里也可以用线段树维护，时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。

代码

vector<int> incantor(int x,int n){
    x--;//得到从0开始的排名
    vector<int> res(n); //保存数列答案
    int cnt;
    bool st[10]; //标记数组
    memset(st,false,sizeof st);
    for(int i = 0;i < n; ++i){
        cnt = x / fact[n - i - 1]; // 比a[i]小且没有出现过的数的个数
        x %= fact[n - i - 1]; //更新 x
        for(int j = 1; j <= n; ++j){// 找到a[i]，从1开始向后找
            if(st[j]) continue; // 如果被标记过，就跳过
            if(!cnt){ // 如果cnt == 0说明当前数是a[i]
                st[j] = 1; //标记
                res[i] = j; // 第i位是j
                break;
            }
            cnt--; // 如果当前不是0，就继续往后找
        }
    }
    return res;// 返回答案
}