什么是向量积以及其几何意义

什么是向量积?

向量积,也称(向量)叉积,(向量)叉乘,外积,是一种在向量空间中对向量进行的二元运算。常见于物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中,是一种很重要的概念。

设向量 \(\overrightarrow{c}\) 由两个向量 \(\overrightarrow{a}\)\(\overrightarrow{b}\) 按如下公式定出:\(\overrightarrow{c}\) 的模 \(|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sinθ\),其中 \(θ\)\(\overrightarrow{a}\)\(\overrightarrow{b}\) 间的夹角;\(\overrightarrow{c}\) 的方向垂直于 \(\overrightarrow{a}\)\(\overrightarrow{b}\) 所决定的平面,指向按右手规则从 \(\overrightarrow{a}\) 转向 \(\overrightarrow{b}\) 来确定,如下图:

那么,向量 \(\overrightarrow{c}\) 叫做向量 \(\overrightarrow{a}\)\(\overrightarrow{b}\) 的向量积,记作 \(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)

由上述的定义,我们很容易总结出两条性质:

\[\begin{align} \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=\overrightarrow{0} \tag{其中 $\overrightarrow{a}$ 平行$\overrightarrow{b}$}\\ \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=- \overrightarrow{b}×\overrightarrow{a} \tag{不满足交换律} \end{align} \]

下面来推导向量积的坐标表达式,以二维向量为例。设 \(\overrightarrow{a}=(a_x, a_y),\overrightarrow{b}=(b_x, b_y)\),得:

仔细观察上式,得出:

  1. \(a_xb_y-a_yb_x>0\),则 \(\overrightarrow{b}\)\(\overrightarrow{a}\) 的逆时针方向上(参照 \(\overrightarrow{i}\)\(\overrightarrow{j}\) 的位置);
  2. \(a_xb_y-a_yb_x<0\),则 \(\overrightarrow{b}\)\(\overrightarrow{a}\) 的顺时针方向上;
  3. \(a_xb_y-a_yb_x=0\),则 \(\overrightarrow{a}\)\(\overrightarrow{b}\) 共线,但是否同向不确定。
posted @ 2020-09-21 20:09  RioTian  阅读(12971)  评论(0编辑  收藏  举报