什么是向量积以及其几何意义

什么是向量积？

向量积，也称（向量）叉积，（向量）叉乘，外积，是一种在向量空间中对向量进行的二元运算。常见于物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中，是一种很重要的概念。

设向量 $\overrightarrow{c}$ 由两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 按如下公式定出：$\overrightarrow{c}$ 的模 $|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin\theta$，其中 $\theta$ 为 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 间的夹角；$\overrightarrow{c}$ 的方向垂直于 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所决定的平面，指向按右手规则从 $\overrightarrow{a}$ 转向 $\overrightarrow{b}$ 来确定，如下图：

那么，向量 $\overrightarrow{c}$ 叫做向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的向量积，记作 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$。

由上述的定义，我们很容易总结出两条性质：

$$\begin{array}{}\text{(其中 }\overrightarrow{a}\text{ 平行}\overrightarrow{b}\text{)}& \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}& =\overrightarrow{0}\text{(不满足交换律)}& \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}& =-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\end{array}$$

下面来推导向量积的坐标表达式，以二维向量为例。设 $\overrightarrow{a}=(a_x,a_y)，\overrightarrow{b}=(b_x,b_y)$，得：

仔细观察上式，得出：

1. $a_x{b}_y-a_y{b}_x>0$，则 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 的逆时针方向上（参照 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 的位置）；
2. $a_x{b}_y-a_y{b}_x<0$，则 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 的顺时针方向上；
3. $a_x{b}_y-a_y{b}_x=0$，则 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 共线，但是否同向不确定。