Educational Codeforces Round 80 A - D题题解（又是卡很久的一场比赛）

第八场

CodeForces - 1288A. Deadline

Example

input

3
1 1
4 5
5 11

output

YES
YES
NO

Note

In the first test case, Adilbek decides not to optimize the program at all, since $d\le n$.

In the second test case, Adilbek can spend $1$ day optimizing the program and it will run $\lceil \frac{5}{2}\rceil =3$ days. In total, he will spend $4$ days and will fit in the limit.

In the third test case, it's impossible to fit in the limit. For example, if Adilbek will optimize the program $2$ days, it'll still work $\lceil \frac{11}{2+1}\rceil =4$ days.

题意：

$Adilbek$ 有一个编程任务，总工期为 $n$ 天，直接暴力完成需要 $d$ 天。但他可以选择花 $x$ 天进行优化，然后再花 $\lceil \frac{d}{x+1}\rceil$ 天运行。如果可以在工期内完成则输出 $YES$ 不然输出 $NO$。

思路：

如果暴力完成天数小于工期则不需要去特地优化，不然的话需要进行优化但优化天数是不能超过 工期数（即 $x<n$)。

详解看代码更好理解。

#include<bits/stdc++.h>
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof a)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 100;
ll _, n, d, a[N], i, j;
void solve() {
	cin >> n >> d;
	if (d <= n) {
		cout << "YES" << endl;
		return;
	}
	for (int x = 1; x < d && x <= n; ++x) {
		if ((x + ceil((float)d / (x + 1))) <= n) {//必须要先提高精度（float化）不然在除的时候会导致错误，如4/3 = 1.333 = 1发生错误
			cout << "YES" << endl;
			return;
		}
	}
	cout << "NO" << endl;
}

int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> _; while (_--) solve();
}

CodeForces - 1288B. Yet Another Meme Problem

input

3
1 11
4 2
191 31415926

output

1
0
1337

Note

There is only one suitable pair in the first test case: $a=1,b=9(1+9+1\cdot 9=19)$.

题目内部图片：

题意：

给定$A，B$ 求$1\le a\le A,1\le b\le B1$ 有多少对（a,b）使$a\cdot b+a+b=conc(a,b)$ 成立。

思路：

仔细分解一下所给的公式：

$$\begin{gathered} a\ast b+a+b=conc(a,b) \\ a\ast b+a+b=a\ast {10}^{|num|}+b \\ |num|\mathrm{是}b\mathrm{的}\mathrm{十}\mathrm{进}\mathrm{制}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{长}\mathrm{度}。 \\ a\ast b+a=a\ast {10}^{|num|} \\ b+1={10}^{|num|} \\ \mathrm{因}\mathrm{此}，b\mathrm{总}\mathrm{是}\mathrm{看}\mathrm{起}\mathrm{来}\mathrm{像}99\dots 99。\mathrm{因}\mathrm{此}，\mathrm{答}\mathrm{案}\mathrm{是}a\ast （|num+1|-1）。 \end{gathered}$$

#include<bits/stdc++.h>
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof a)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 100;
ll _, n, m, a[N], i, j;

void solve() {
    ll A, B; cin >> A >> B;
    ll weinum = 0, i = B;
    bool flag = true;
    while (i) {
        weinum++;
        i /= 10;
    }
    i = B;
    while (i) {
        if (i % 10 != 9) {
            flag = false;
            break;
        }
        i /= 10;
    }
    if (flag)cout << A * weinum << endl;
    else cout << A * (weinum - 1) << endl;
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> _; while (_--) solve();
}

#python
for t in range(int(input())):
	a, b = map(int, input().split())
	print(a * (len(str(b + 1)) - 1))

1288C - Two Arrays

组合数学问题。

让我们考虑以下顺序：

$$a_1，a_2，\dots ，a_m，b_m，b_{m-1}，\dots ，b_1。$$

它的长度为$ 2m $\mathrm{的}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{以}\mathrm{降}\mathrm{序}\mathrm{排}\mathrm{列}，\mathrm{其}\mathrm{中}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{的}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{都}\mathrm{是}$ 1 $\mathrm{和}$ n $之间的整数。

我们可以通过简单的组合来找到此类序列的数量-它是与重复结合在一起的。 所以答案是

$$\left(\begin{array}{c}n+2m-1\\ \\ 2m\end{array}\right)=(n+2m-1)!(2m)!/(n-1)!$$

#python
from math import factorial as fact
mod = 10**9 + 7

def C(n, k):
	return fact(n) // (fact(k) * fact(n - k))

n, m = map(int, input().split())
print(C(n + 2*m - 1, 2*m) % mod)

1288D - Minimax Problem

思路：来自CF官网

我们将使用二进制搜索来解决该问题。 假设我们想知道答案是否不少于x。
每个数组都可以由一个m位掩码表示，其中如果数组的第i个元素不少于x，则第i个位为1；如果第i个元素小于x，则第i个位为0。 如果要验证答案不小于x，则必须选择两个数组，使它们的掩码的按位或为$2^m-1$。
检查所有成对的数组太慢。 取而代之的是，我们可以将相同掩码表示的数组视为相等-这样，我们将不会有超过$2^m$个不同的数组，并且可以迭代$4^m$对。 总体而言，该解决方案在$O（logA（4^m+nm））$下工作。

C++代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
vector<vector<int> > a;
int a1, a2;

bool can(int mid)
{
    vector<int> msk(1 << m, -1);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int cur = 0;
        for(int j = 0; j < m; j++)
            if(a[i][j] >= mid)
                cur ^= (1 << j);
        msk[cur] = i;
    }
    if(msk[(1 << m) - 1] != -1)
    {
        a1 = a2 = msk[(1 << m) - 1];
        return true;
    }
    for(int i = 0; i < (1 << m); i++)
        for(int j = 0; j < (1 << m); j++)
            if(msk[i] != -1 && msk[j] != -1 && (i | j) == (1 << m) - 1)
            {
                a1 = msk[i];
                a2 = msk[j];
                return true;
            }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    a.resize(n, vector<int>(m));
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    int lf = 0;
    int rg = int(1e9) + 43;
    while(rg - lf > 1)
    {
        int m = (lf + rg) / 2;
        if(can(m))
            lf = m;
        else
            rg = m;            
    }
    assert(can(lf));
    printf("%d %d\n", a1 + 1, a2 + 1);
}