博弈论经典模型解析（入门级）
在面试的过程中，除了常规的算法题目，我们经常也会被问到一些趣味题型来考察思维，而这类问题中，很多都有博弈论的影子存在。这些公司里以FLAG（Facebook, LinkedIn, Amazon, Google）为典型，特别喜欢考察本类题型。同时，本系列将不一定都是算法问题，不是IT行业的小伙伴也可以进行学习，来提高分析问题的能力~
另外对于Acmer的同学附上 ACM博弈论基本算法入门文章
1、什么是“博弈论”
古语有云，“笑人情似纸，世事如棋”。生活中每个人如同棋手，其每一个行为如同在一张看不见的棋盘 上布子，精明慎重的棋手们相互揣摩、牵制、争赢，下出诸多精彩纷呈、变化多端的棋局。而什么是博 弈论？就是研究棋手们 的“出棋” 过程，从中抽象出可逻辑化的部分，并将其系统化的一门科学，也是运 筹学的一个重要学科。 我们从最简单的一道“囚徒困境”来进行学习~
2、囚徒困境
| 囚徒困境 |
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| 一件严重的纵火案发生后，警察在现场抓到两个犯罪嫌疑人。事实上，正是他们一起放火烧了这座 仓库。但是，警方没有掌握足够的证据，只得把他们分开囚禁起来，要求他们坦白交代。 |
在分开囚禁后，警察对其分别告知：
- 如果你坦白，而对方不坦白，则将你释放，判对方8年。
- 如果你不坦白，而对方坦白，则将对方释放，而判你8年。
- 如果你两都坦白了，则判你两各自4年。
那么两个囚犯应该如何做，是互相背叛还是一起合作？
题目分析： 从表面上看，其实囚犯最应该的就是一起合作，都不坦白，这样因为证据不足，会将两人都进行释放。 但是！因为事实确实是两人放的火，所以他们不得不进行思考，另一人采取了什么样的行为？
犯人甲当然不傻，他根本无法相信同伙不会向警方提供任何信息！因为如果同伙一旦坦白，而自己这边 如果什么都没说的话，就可以潇洒而去。但他同时也意识到，他的同伙也不傻，也会同样来这样设想他。
所以犯人甲只会有一种结论：唯一理性的选择就是背叛同伙，把一切都告诉警方！这样的话，如果他的同伙笨 得只会保持沉默，那么他就会是那个离开的人。而如果他的同伙也根据这个逻辑向警方交代了，那么也 没有关系，起码他不必服最重的刑！
2.1、 囚徒困境与纳什均衡
这场博弈的过程，显然不是顾及团体利益的最优解决方案。以全体利益而言，如果两个参与者都合作保 持沉默，两人都可以无罪释放，总体利益更高！但根据假设（人性），二人均为理性的个人，且只追求 自己的个人利益。均衡状况会是两个囚徒都选择背叛，这就是“困境”所在！
事实上，这种两人都选择坦白的策略以及因此被判4年的结局被称作“纳什均衡”（也叫非合作均衡），换 言之，在此情况下，无一参与者可以“独自行动”（即单方面改变决定）而增加收获。
我们看一下官方释意是多么难懂“所谓纳什均衡，指的是参与人的一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。”简单点讲，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变 策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。
3、辛普森悖论
| 辛普森悖论 |
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| 羊羊医院里统计了两种胆结石治疗方案的治愈率。在统计过程中，医生将病人分为大胆结石和小胆 结石两组。统计结果如下： |
- 对于小胆结石而言，手术A的治愈率（93%）高于 手术B（87%）
- 对于大胆结石而言，手术A的治愈率（73%）高于 手术B（69%）
羊羊医院的医生得出结论：
无论是对于大小胆结石，手术A的治愈率都胜过手术B。
但是真的是这样吗？当然不是，我们根据样本统计出大小胆结石总计的治愈率，发现手术B(治愈率 83%)其实是要高于手术A(治愈率78%)。
为什么会出现这样的结果？这就是著名的辛普森悖论。
3.1、直觉的缺陷
得到了结论，我们来思考背后的东西。在我们的直觉里有这样一个逻辑：如果一个事物的各部分都分别 大于另一个事物的各部分，那么这个事物大于另一个事物。比如：我们的直觉告诉我们如果手术A在两 组病人中都更好，那么在所有病人中也应该更好。
我们可以将其公式化（该公式错误），假设：
乍一看，我们觉得该公式没有问题~所以这个公式也就代表了我们大部分人的思维工作。其实在这个公 式中，隐藏掉了一个很重要的条件：A1、A2、An 以及 B1、B2、Bn 并不能简单的通过“加”来得到 A 或者 B。这就是可加性的前提。在大脑的思维过程中，因为我们很难直接看到这个前提，进而就导致了 我们错误的思考！
3.2、辛普森悖论举例
下面我们举一些在生活中常见的辛普森悖论例子：
- 打麻将的时候，把把都赢小钱，造成赢钱的假象，其实不如别人赢一把大的。
- 在苹果和安卓的竞争中，你听见身边的人都在逃离苹果，奔向安卓。但是其实苹果的流入率还是要 高于安卓。（有数据证明，很经典的案例）
- 你男票，这里比别人差，那里比别人差，但是其实他真的比别的男生差吗？（这个纯属本人胡扯 了..）
4、红眼睛和蓝眼睛
| 红眼睛和蓝眼睛 |
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| 一个岛上有100个人，其中有5个红眼睛，95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。 |
- 他们不能照镜子，不能看自己眼睛的颜色。
- 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
- 一旦有人知道了自己是红眼睛，他就必须在当天夜里自杀。
某天，有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩，所以他在和全岛人一起狂欢的时候，不留神 就说了一句话：【你们这里有红眼睛的人。】
问题：假设这个岛上的人每天都可以看到其他所有人，每个人都可以做出缜密的逻辑推理，请问岛上会 发生什么？
4.1、题目分析
题目乍看之下，没有任何逻辑可言！以目测条件，基本无法完成任何正常的推理。但是在仔细推敲之 后，我们可以将问题简化，从假设只有1个红眼睛开始分析。
我们假设岛上只有1个红眼睛的人，还有99个都是蓝眼睛。因为这个旅行者说了“这里有红眼睛的人”， 那么在第一天的时候，这个红眼睛会发现其他的人都是蓝眼睛（与此同时，其他人因为看到了这个红眼 睛的人，所以都确认了自己的安全）那么这天晚上，这个红眼睛的人一定会自杀！
继续分析，假设这个岛上有2个红眼睛，那么当旅行者说“这里有红眼睛的人”之后的第一天，这两个红眼 睛分别发现还有别的红眼睛存在，所以他们当天晚上认为自己是安全的。但是到了第二天，红眼睛惊讶 的发现，另一个红眼睛的人竟然没有自杀（说明岛上有不止一个红眼睛），并且当天他们也没有发现有 别的红眼睛存在（说明另一个红眼睛就是自己）WTF，那肯定另一个红眼睛就是自己了，所以在第二天 夜里，两个红眼睛的人会同时自杀！
继续分析，假如岛上红眼睛有3个。那么在第一天，红眼睛发现了岛上还有另外两个红眼睛，红眼睛呵 呵一笑，“反正不是我”。到了第二天，红眼睛仍然看到了另外两个红眼睛，红眼睛心想，"这下你两该完 蛋了吧"，毕竟你两都知道了自己是红眼睛，晚上回去统统自杀吧！（根据上面的推论得出）但是惊奇 的是，到了第三天，红眼睛发现另外两个红眼睛竟然都没有自杀。（说明岛上红眼睛的人不止两个）并 且当天红眼睛也没发现新的红眼睛（说明还有一个红眼睛就是自己）所以在第三天的夜里，三个红眼睛 会同时自杀。
根据上面的推论，假设有N个红眼睛，那么到了第N天，这N个红眼睛就会自杀。所以最终这个岛上红 眼睛的人会统统自杀！这就是答案，生活就是这么朴实无华，且枯燥。
4.2、旅客的挽回
上面的分析大家应该都看懂了。但若是在旅客说完这句话后，其并没有离开这个岛。同时他也看到了周 围人眼里的惊慌和失措，这个时候，旅客为自己的行为感到了懊恼和悔恨！旅客决定对自己的话进行挽回，旅客又该怎么做呢？
这里我提供一种思路，旅客可以在第N次集会上杀掉N个红眼睛，让这N个红眼睛 “GO TO SLEEP”，就 可以中断事件的推理。事实上，基于人道主义，旅客并不需要手动杀人，她只需要在第N天的时候告诉 这N个人，你们是红眼睛，那么这天晚上，这N个人就会自杀。"All RETURN"，一切将回归秩序~
5、海盗分金币
| 海盗分金币 |
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| 在大海上，有5个海盗抢得100枚金币，他们决定每一个人按顺序依次提出自己的分配方案，如果 提出的方案没有获得半数或半数以上的人的同意，则这个提出方案的人就被扔到海里喂鲨鱼。那么 第一个提出方案的人要怎么做，才能使自己的利益最大化？ |
海盗们有如下特点：
- 足智多谋，总是采取最优策略。
- 贪生怕死，尽量保全自己性命。
- 贪得无厌，希望自己得到越多宝石越好
- 心狠手辣，在自己利益最大的情况下希望越多人死越好。
- 疑心多虑，不信任彼此，尽量确保自身利益不寄希望与别人给自己更大利益。
5.1、题目分析
首先我们很容易会觉得，抽签到第一个提方案的海盗会很吃亏！因为只要死的人够多，那么平均每个人 获取的金币就最多，而第一个提方案的人是最容易死的。但是事实是，在满足海盗特点的基础上，第一 个提方案的海盗是最赚的（也就是我们常说的先手优势），我们一起来分析一下。
假如我们设想只有两个海盗。那么不管第一个说什么，只要第二个人不同意，第二个人就可以得到全部 的金币！所以第一个海盗必死无疑，这个大家都能理解。（当然，这样的前提是一号提出方案后不可以 马上自己同意，不然如果自己提出给自己全部金币的方案，然后自己支持，这样就是二号必死无疑）
假如现在我们加入第三个海盗，这时候原来的一号成为了二号，二号成为了三号。这时候现在的二号心 里会清楚，如果他投死了一号，那么自己必死无疑！所以根据贪生怕死的原则，二号肯定会让一号存 活。而此时一号心理也清楚，无论自己提出什么样的方案，二号都会让自己存活，而这时只要加上自己 的一票，就有半数通过，所以一号提出方案：把金币都给我。
现在又继续加入了新的海盗！原来的1,2,3号，成为了现在的2,3,4号。这时候新的一号海盗洞悉了奥 秘，知道了如果自己死了，二号就可以获取全部的金币，所以提出给三号和四号一人一个金币，一起投 死2号。而与此同时，现在的3号和4号获取的要比三个人时多（三个人时自己获取不了任何金币），所 以他们会同意这个方案！
现在加入我们的大Boss，最后一个海盗。根据分析，大Boss海盗1号推知出2号的方案后就可以提出 (97,0,1,2,0)或者(97,0,1,0,2)的方案。这样的分配方案对现在的3号海盗相比现在的2号的分配方案还多了 一枚金币，就会投赞成票，4号或者5号因为得到了2枚金币，相比2号的一枚多，也会支持1号，加上1 号自己的赞成票，方案就会通过，即1号提出(97,0,1,2,0)或(97,0,1,0,2)的分配方案，大Boss成功获得了 97枚金币。
5.2、思考
最终，大Boss一号海盗得到97枚金币，投死了老二和老五，这竟然是我们分析出的最佳方案！这个答 案明显是反直觉的，如果你是老大，你敢这样分金币，必死无疑。可是，推理过程却非常严谨，无懈可 击，那么问题出在哪里呢？
其实，在"海盗分赃"模型中，任何"分配者"想让自己的方案获得通过的关键是，事先考虑清楚"对手"的 分配方案是什么，并用最小的代价获取最大收益，拉拢"对手"分配方案中最不得意的人们。1号看 起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还收益最大。而5号， 看起来最安全，没有死亡的威胁，甚至还能坐收渔人之利，却因不得不看别人脸色行事而只能分得一小 杯羹。
不过，模型任意改变一个假设条件，最终结果都不一样。而现实世界远比模型复杂。因为假定所有人都理性，本身就是不理性的。回到“海盗分金”的模型中，只要3号、4号或5号中有一个人偏离了绝对聪明 的假设，海盗1号无论怎么分都可能会被扔到海里去了。所以，1号首先要考虑的就是他的海盗兄弟们的 聪明和理性究竟靠得住靠不住，否则先分者必定倒霉。
如果某人和一号本身不对眼，就想丢他喂鲨鱼。果真如此，1号自以为得意的方案岂不成了自掘坟墓。 再就是俗话所说的“人心隔肚皮”。由于信息不对称，谎言和虚假承诺就大有用武之地，而阴谋也会像杂 草般疯长，并借机获益。如果2号对3、4、5号大放烟幕弹，宣称对于1号所提出任何分配方案，他一定 会再多加上一个金币给他们。这样，结果又当如何？
通常，现实中人人都有自认的公平标准，因而时常会嘟嚷：“谁动了我的奶酪？”可以料想，一旦1号所提 方案和其所想的不符，就会有人大闹。当大家都闹起来的时候，1号能拿着97枚金币毫发无损、镇定自 若地走出去吗？最大的可能就是，海盗们会要求修改规则，然后重新分配。当然，大家也可以讲清楚下 次再得100枚金币时，先由2号海盗来分…然后是3号……
颇有点像美国总统选举，轮流主政。说白了，其 实是民主形式下的分赃制。（仅吐槽）
最可怕的是其他四人形成一个反1号的大联盟并制定出新规则：四人平分金币，将1号扔进大海。这就颇 有点阿Q式的革命理想：高举平均主义的旗帜，将富人扔进死亡深渊。
最后，这里也提供一份代码实现，供有兴趣的同学参考（该代码我大概看了一下，但是因为时间的关 系，没有跑单测进行验证，特此说明！）
以上代码输出：5人时分配方案：[97, 0, 1, 0, 2]
看懂了吗？如果看懂了，这里提出一个问题：假如我们将人性考虑在内，同时也进行理性的分析，如果 你是老大，又该如何提出这个方案呢？大家在留言区留下自己的回答吧
6、结语
好啦，这篇内容就到这里了，你学会了吗？另外经典博弈论还有很多模型，如：以牙还牙、手表定律、枪手博弈 之类的。这里就先不展开论述了，有兴趣的话可以自行Google。
