位运算的奇技淫巧（二）
位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据，位运算是相当快的。
之前有总结过位运算的技巧，但稍微对以前写的文章不太满意，所以重新总结一下
常用的运算符共 6 种，分别为与（ & ）、或（ | ）、异或（ ^ ）、取反（ ~ ）、左移（ << ）和右移（ >> ）。
与、或、异或
与（ & ）或（ | ）和异或（ ^ ）这三者都是两数间的运算，因此在这里一起讲解。
它们都是将两个整数作为二进制数，对二进制表示中的每一位逐一运算。
| 运算符 | 解释 |
|---|---|
& |
只有两个对应位都为 1 时才为 1 |
| ` | ` |
^ |
只有两个对应位不同时才为 1 |
异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 \(a \text{^} b \text{^} b = a\) 。
举例：
取反
取反是对一个数 \(num\) 进行的计算，即单目运算。
~ 把 \(num\) 的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）。有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。
补码：在二进制表示下，正数和 0 的补码为其本身，负数的补码是将其对应正数按位取反后加一。
举例（有符号整数）：
左移和右移
num << i 表示将 \(num\) 的二进制表示向左移动 \(i\) 位所得的值。
num >> i 表示将 \(num\) 的二进制表示向右移动 \(i\) 位所得的值。
举例：
在 C++ 中，右移操作中右侧多余的位将会被舍弃，而左侧较为复杂：对于无符号数，会在左侧补 0；而对于有符号数，则会用最高位的数（其实就是符号位，非负数为 0，负数为 1）补齐。左移操作总是在右侧补 0。
复合赋值位运算符
和 += , -= 等运算符类似，位运算也有复合赋值运算符： &= , |= , ^= , <<= , >>= 。（取反是单目运算，所以没有。）
关于优先级
位运算的优先级低于算术运算符（除了取反），而按位与、按位或及异或低于比较运算符，所以使用时需多加注意，在必要时添加括号。
位运算的应用
位运算一般有三种作用：
-
高效地进行某些运算，代替其它低效的方式。
-
表示集合。（常用于 状压 DP 。）
-
题目本来就要求进行位运算。
需要注意的是，用位运算代替其它运算方式（即第一种应用）在很多时候并不能带来太大的优化，反而会使代码变得复杂，使用时需要斟酌。（但像“乘 2 的非负整数次幂”和“除以 2 的非负整数次幂”就最好使用位运算，因为此时使用位运算可以优化复杂度。）
乘 2 的非负整数次幂
int mulPowerOfTwo(int n, int m) { // 计算 n*(2^m)
return n << m;
}
除以 2 的非负整数次幂
int divPowerOfTwo(int n, int m) { // 计算 n/(2^m)
return n >> m;
}
!!! warning
我们平常写的除法是向 0 取整，而这里的右移是向下取整（注意这里的区别），即当数大于等于 0 时两种方法等价，当数小于 0 时会有区别，如： -1 / 2 的值为 \(0\) ，而 -1 >> 1 的值为 \(-1\) 。
判断一个数是不是 2 的正整数次幂
bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }
对 2 的非负整数次幂取模
int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }
取绝对值
在某些机器上，效率比 n > 0 ? n : -n 高。
int Abs(int n) {
return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
/* n>>31 取得 n 的符号，若 n 为正数，n>>31 等于 0，若 n 为负数，n>>31 等于 -1
若 n 为正数 n^0=n, 数不变，若 n 为负数有 n^(-1)
需要计算 n 和 -1 的补码，然后进行异或运算，
结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1，再减去 -1 就是绝对值 */
}
取两个数的最大/最小值
在某些机器上，效率比 a > b ? a : b 高。
// 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0，否则为 -1
int max(int a, int b) { return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31); }
int min(int a, int b) { return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31); }
判断符号是否相同
bool isSameSign(int x, int y) { // 有 0 的情况例外
return (x ^ y) >= 0;
}
交换两个数
void swap(int &a, int &b) { a ^= b ^= a ^= b; }
获取一个数二进制的某一位
// 获取 a 的第 b 位，最低位编号为 0
int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }
表示集合
一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。比如集合 {1, 3, 4, 8} ，可以表示成 \((100011010)_2\) 。而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。
| 操作 | 集合表示 | 位运算语句 |
|---|---|---|
| 交集 | \(a \cap b\) | a & b |
| 并集 | \(a \cup b\) | `a |
| 补集 | \(\bar{a}\) | ~a （全集为二进制都是 1） |
| 差集 | \(a \setminus b\) | a & (~b) |
| 对称差 | \(a\triangle b\) | a ^ b |
二进制的状态压缩
二进制状态压缩，是指将一个长度为 \(m\) 的 \(bool\) 数组用一个 \(m\) 位的二进制整数表示并存储的方法。利用下列位运算操作可以实现原 \(bool\) 数组中对应下标元素的存取。(xor 等价于 ^)
| 操作 | 运算 |
|---|---|
| 取出整数 n 在二进制表示下的第 k 位 | (n >> k) & 1 |
| 取出整数n 在二进制表示下的第 0 ~ k - 1 位 (后 k 位) | n & ((1 << k) - 1) |
| 对整数 n 在二进制表示下的第 k 位取反 | n xor (1 << k) |
| 对整数 n 在二进制表示下的第 k 位赋值 1 | n | (1 << k) |
| 对整数 n 在二进制表示下的第 k 位赋值 0 | n & (~(1 << k)) |
这种方法运算简便，并且节省了程序运行的时间和空间。当m不太大时，可以直接使用一个整数类型存储。当m较大时，可以使用若干个整数类型（int数组），也可以直接利用 \(C++STL\) 为我们提供的 \(bitset\) 实现
遍历某个集合的子集
// 遍历 u 的非空子集
for (int s = u; s; s = (s - 1) & u) {
// s 是 u 的一个非空子集
}
用这种方法可以在 \(O(2^{popcount(u)})\) （ \(popcount(u)\) 表示 \(u\) 二进制中 1 的个数）的时间复杂度内遍历 \(u\) 的子集，进而可以在 \(O(3^n)\) 的时间复杂度内遍历大小为 \(n\) 的集合的每个子集的子集。（复杂度为 \(O(3^n)\) 是因为每个元素都有 不在大子集中/只在大子集中/同时在大小子集中 三种状态。）
内建函数
GCC 中还有一些用于位运算的内建函数：详细文章介绍
-
int __builtin_ffs(int x)：返回 \(x\) 的二进制末尾最后一个 \(1\) 的位置，位置的编号从 \(1\) 开始（最低位编号为 \(1\) ）。当 \(x\) 为 \(0\) 时返回 \(0\) 。 -
int __builtin_clz(unsigned int x)：返回 \(x\) 的二进制的前导 \(0\) 的个数。当 \(x\) 为 \(0\) 时，结果未定义。 -
int __builtin_ctz(unsigned int x)：返回 \(x\) 的二进制末尾连续 \(0\) 的个数。当 \(x\) 为 \(0\) 时，结果未定义。 -
int __builtin_clrsb(int x)：当 \(x\) 的符号位为 \(0\) 时返回 \(x\) 的二进制的前导 \(0\) 的个数减一，否则返回 \(x\) 的二进制的前导 \(1\) 的个数减一。 -
int __builtin_popcount(unsigned int x)：返回 \(x\) 的二进制中 \(1\) 的个数。 -
int __builtin_parity(unsigned int x)：判断 \(x\) 的二进制中 \(1\) 的个数的奇偶性。
这些函数都可以在函数名末尾添加 l 或 ll （如 __builtin_popcountll ）来使参数类型变为 ( unsigned ) long 或 ( unsigned ) long long （返回值仍然是 int 类型）。
例如，我们有时候希望求出一个数以二为底的对数，如果不考虑 0 的特殊情况，就相当于这个数二进制的位数 -1 ，而一个数 n 的二进制表示的位数可以使用 32-__builtin_clz(n) 表示，因此 31-__builtin_clz(n) 就可以求出 n 以二为底的对数。
由于这些函数是内建函数，经过了编译器的高度优化，运行速度十分快（有些甚至只需要一条指令）。
更多位数
如果需要操作的集合非常大，可以使用 bitset容器 。
题目推荐
参考
位运算技巧： https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html
Other Builtins of GCC： https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Other-Builtins.html
