棋盘完美覆盖数（小规模原理实现）

前言：

最近在看组合数学，记录一些书中相关的知识点。

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正文：

考虑一个普通的国际象棋棋盘，它被分成8*8（8行8列）的64个正方形。设有形状一样的多米诺骨牌，每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的两个方格（即1*2的骨牌）。那么能否把32个这样的12骨牌放到棋盘上，使得任何两张牌均不重叠，每张多米诺骨牌覆盖两个方格，并且棋盘上所有的方格都被覆盖住？我们把这样一种排列称为被多米诺骨牌的完美覆盖。这是一个简单的排列问题，人们能够很快构造许多不同的完美覆盖。但是计算不同的完美覆盖的总数就不是一件容易的事了，不过，这还是有可能做到的。这个数由 M.E.Fischer在其一篇名为Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice的论文中计算出了不同的完美覆盖总数为： 12988816 = 24 * （901)2 。而后Fischer得出了更一般的公式用来求解12骨牌覆盖m*n（m，n至少一个为偶数)方格的公式， 。其实这就是分子生物学著名的二聚物问题。

分析完上面的问题，大家自然会有一个问题，对于一般的1*b的方格来覆盖m*n的棋盘，完美覆盖数又是多少呢？这里，我们称1*b的方格为b-牌(b-omino)。一个已知的事实是，如果一个m*n的棋盘拥有b牌的完美覆盖，那么b是m的一个因子或者b是n的一个因子。本文将给出0<b<5，用来覆盖m*n棋盘的方法数（我们令n不大于m）：

1）b=1 的情况

显然，覆盖方法数只有1种

2）b=2的情况

前面提到了Fischer的三角公式，但是有个问题，如果结果很大的时候，需要给出取模解的时候，用公式就显得力不从心了。

i)而我们发现当n=2的时候，结果数刚好是Fibonacci数列。对于m较大可以用矩阵幂算法解决。

ii)n=3的时候可以推倒出递推式

以及边界条件

其中\(a_m\)代表在左上角将第一块骨牌横着放的总方案数，\(b_m\)代表在左上角竖着放第一块骨牌的方案数。

不难得出\(a_m\)的表达式，继而使用矩阵幂求出大数据求模的解。周源在WC08的讲稿中给出了\(a_m\)和\(b_m\)的生成函数：

iii) n>3的情况。其实我们注意到b=2，应该能够考虑到二进制，继而考虑到状态压缩动态规划。首先dfs出相邻两行的状态转移方式\(S_{from}->S_{to}\),继而用动态规划转移得到每行的方案数Hs。不难看出时间复杂度为O(m*2n)。菜鱼同学利用特征方程计算了每行的方案数Hs=,由于第二项较小可以忽略，因此Hs约等于0.85*2.414n，即2n<Hs<3n。因此一个更加精确的时间复杂度为O(m*0.85*2.414n), 不难看出这里n的范围比较小，一般小于12。

3) b=3的情况或者b=4的情况

均可以利用上述推倒递推关系的方法求解。

最后推荐几个相关的资料供读者参考：

冯跃峰. 棋盘上的组合数学.[M]. 上海：上海教育出版社，1998.

沈晓斌 棋盘的1*3骨牌骨牌覆盖的技术.[J]. 泉州师专学报, 1997,(2)

沈晓斌等1*4格牌覆盖棋盘的计数.[J]. 泉州师专学报, 2000,(2)