中国剩余定理
「物不知数」问题
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即求满足以下条件的整数：除以 \(3\) 余 \(2\) ，除以 \(5\) 余 \(3\) ，除以 \(7\) 余 \(2\) 。
该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出：
三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。
\(2\times 70+3\times 21+2\times 15=233=2\times 105+23\) ，故答案为 \(23\) 。
算法简介及过程
中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(n_1, n_2, \cdots, n_k\) 两两互质）：
上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。
算法流程
- 计算所有模数的积 \(n\) ；
- 对于第 \(i\) 个方程：
- 计算 \(m_i=\frac{n}{n_i}\) ；
- 计算 \(m_i\) 在模 \(n_i\) 意义下的
逆元\(m_i^{-1}\) ； - 计算 \(c_i=m_im_i^{-1}\) （ 不要对 \(n_i\) 取模 ）。
- 方程组的唯一解为： \(a=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n\) 。
伪代码
1 → n
0 → ans
for i = 1 to k
n * n[i] → n
for i = 1 to k
n / n[i] → m
inv(m, n[i]) → b // b * m mod n[i] = 1
(ans + a[i] * m * b) mod n → ans
return ans
算法的证明
我们需要证明上面算法计算所得的 \(a\) 对于任意 \(i=1,2,\cdots,k\) 满足 \(a\equiv a_i \pmod {n_i}\) 。
当 \(i\neq j\) 时，有 \(m_j\equiv 0 \pmod {n_i}\) ，故 \(c_j\equiv m_j\equiv 0 \pmod {n_i}\) 。又有 \(c_i\equiv m_i(m_i^{-1}\bmod {n_i})\equiv 1 \pmod {n_i}\) ，所以我们有：
即对于任意 \(i=1,2,\cdots,k\) ，上面算法得到的 \(a\) 总是满足 \(a\equiv a_i \pmod{n_i}\) ，即证明了解同余方程组的算法的正确性。
因为我们没有对输入的 \(a_i\) 作特殊限制，所以任何一组输入 \(\{a_i\}\) 都对应一个解 \(a\) 。
另外，若 \(x\neq y\) ，则总存在 \(i\) 使得 \(x\) 和 \(y\) 在模 \(n_i\) 下不同余。
故系数列表 \(\{a_i\}\) 与解 \(a\) 之间是一一映射关系，方程组总是有唯一解。
例
下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。
- \(n=3\times 5\times 7=105\) ；
- 三人同行 七十 希： \(n_1=3, m_1=n/n_1=35, m_1^{-1}\equiv 2\pmod 3\) ，故 \(c_1=35\times 2=70\) ；
- 五树梅花 廿一 支： \(n_2=5, m_2=n/n_2=21, m_2^{-1}\equiv 1\pmod 5\) ，故 \(c_2=21\times 1=21\) ；
- 七子团圆正 半月 ： \(n_3=7, m_3=n/n_3=15, m_3^{-1}\equiv 1\pmod 7\) ，故 \(c_3=15\times 1=15\) ；
- 所以方程组的唯一解为 \(a\equiv 2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv 233\equiv 23 \pmod {105}\) 。（除 百零五 便得知）
应用
某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他不可告人的原因，给出的模数： 不是质数 ！
但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。
那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。
推荐练习：BZOJ 1951
比较两 CRT 下整数
考虑 CRT, 不妨假设 \(n_1\leq n_2 \leq ... \leq n_k\)
与 PMR(Primorial Mixed Radix) 表示
\(x=b_1+b_2n_1+b_3n_1n_2...+b_kn_1n_2...n_{k-1} ,b_i\in [0,n_i)\)
将数字转化到 PMR 下，逐位比较即可
转化方法考虑依次对 PMR 取模
其中 \(c_{i,j}\) 表示 \(n_i\) 对 \(n_j\) 的逆元， \(c_{i,j}n_i \equiv 1 \pmod {n_j}\)
扩展：模数不互质的情况
两个方程
设两个方程分别是 \(x\equiv a_1 \pmod {m_1}\) 、 \(x\equiv a_2 \pmod {m_2}\) ；
将它们转化为不定方程： \(x=m_1p+a_1=m_2q+a_2\) ，其中 \(p, q\) 是整数，则有 \(m_1p-m_2q=a_2-a_1\) 。
由裴蜀定理，当 \(a_2-a_1\) 不能被 \(\gcd(m_1,m_2)\) 整除时，无解；
其他情况下，可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 \((p, q)\) ；
则原来的两方程组成的模方程组的解为 \(x\equiv b\pmod M\) ，其中 \(b=m_1p+a_1\) ， \(M=\text{lcm}(m_1, m_2)\) 。
多个方程
用上面的方法两两合并就可以了……
推荐练习：POJ 2891
