中国剩余定理

「物不知数」问题

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即求满足以下条件的整数：除以 $3$ 余 $2$ ，除以 $5$ 余 $3$ ，除以 $7$ 余 $2$ 。

该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出：

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。

$2 \times 70 + 3 \times 21 + 2 \times 15 = 233 = 2 \times 105 + 23$ ，故答案为 $23$ 。

算法简介及过程

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ 两两互质）：

{\begin{array}{ccc} x & \equiv & a_{1} (\mod n_{1}) \\ x & \equiv & a_{2} (\mod n_{2}) \\ ⋮ \\ x & \equiv & a_{k} (\mod n_{k}) \end{array}

上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。

算法流程

计算所有模数的积 $n$ ；
对于第 $i$ 个方程：
1. 计算 $m_{i} = \frac{n}{n_{i}}$ ；
2. 计算 $m_{i}$ 在模 $n_{i}$ 意义下的 逆元 $m_{i}^{- 1}$ ；
3. 计算 $c_{i} = m_{i} m_{i}^{- 1}$ （ 不要对 $n_{i}$ 取模 ）。
方程组的唯一解为： $a = \sum_{i = 1}^{k} a_{i} c_{i} (\mod n)$ 。

伪代码

1 → n
0 → ans
for i = 1 to k
	n * n[i] → n
for i = 1 to k
	n / n[i] → m
	inv(m, n[i]) → b               // b * m mod n[i] = 1
	(ans + a[i] * m * b) mod n → ans
return ans

算法的证明

我们需要证明上面算法计算所得的 $a$ 对于任意 $i = 1, 2, \dots, k$ 满足 $a \equiv a_{i} (\mod n_{i})$ 。

当 $i \neq j$ 时，有 $m_{j} \equiv 0 (\mod n_{i})$ ，故 $c_{j} \equiv m_{j} \equiv 0 (\mod n_{i})$ 。又有 $c_{i} \equiv m_{i} (m_{i}^{- 1} mod n_{i}) \equiv 1 (\mod n_{i})$ ，所以我们有：

\begin{aligned} a & \equiv \sum_{j = 1}^{k} a_{j} c_{j} & (\mod n_{i}) \\ \equiv a_{i} c_{i} & (\mod n_{i}) \\ \equiv a_{i} m_{i} (m_{i}^{- 1} mod n_{i}) & (\mod n_{i}) \\ \equiv a_{i} & (\mod n_{i}) \end{aligned}

即对于任意 $i = 1, 2, \dots, k$ ，上面算法得到的 $a$ 总是满足 $a \equiv a_{i} (\mod n_{i})$ ，即证明了解同余方程组的算法的正确性。

因为我们没有对输入的 $a_{i}$ 作特殊限制，所以任何一组输入 ${a_{i}}$ 都对应一个解 $a$ 。

另外，若 $x \neq y$ ，则总存在 $i$ 使得 $x$ 和 $y$ 在模 $n_{i}$ 下不同余。

故系数列表 ${a_{i}}$ 与解 $a$ 之间是一一映射关系，方程组总是有唯一解。

例

下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。

$n = 3 \times 5 \times 7 = 105$ ；
三人同行七十希： $n_{1} = 3, m_{1} = n / n_{1} = 35, m_{1}^{- 1} \equiv 2 (\mod 3)$ ，故 $c_{1} = 35 \times 2 = 70$ ；
五树梅花廿一支： $n_{2} = 5, m_{2} = n / n_{2} = 21, m_{2}^{- 1} \equiv 1 (\mod 5)$ ，故 $c_{2} = 21 \times 1 = 21$ ；
七子团圆正半月： $n_{3} = 7, m_{3} = n / n_{3} = 15, m_{3}^{- 1} \equiv 1 (\mod 7)$ ，故 $c_{3} = 15 \times 1 = 15$ ；
所以方程组的唯一解为 $a \equiv 2 \times 70 + 3 \times 21 + 2 \times 15 \equiv 233 \equiv 23 (\mod 105)$ 。（除 百零五 便得知）

应用

某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他不可告人的原因，给出的模数： 不是质数 ！

但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。

那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。

推荐练习：BZOJ 1951

比较两 CRT 下整数

考虑 CRT, 不妨假设 $n_{1} \leq n_{2} \leq . . . \leq n_{k}$

{\begin{aligned} x & \equiv a_{1} (mod n_{1}) \\ x & \equiv a_{2} (mod n_{2}) \\ ⋮ \\ x & \equiv a_{k} (mod n_{k}) \end{aligned}

与 PMR(Primorial Mixed Radix) 表示

$x = b_{1} + b_{2} n_{1} + b_{3} n_{1} n_{2} . . . + b_{k} n_{1} n_{2} . . . n_{k - 1}, b_{i} \in [0, n_{i})$

将数字转化到 PMR 下，逐位比较即可

转化方法考虑依次对 PMR 取模

\begin{aligned} b_{1} & = a_{1} mod n_{1} \\ b_{2} & = (a_{2} - b_{1}) c_{1, 2} mod n_{2} \\ b_{3} & = ((a_{3} - b_{1}^{'}) c_{1, 3} - x_{2}^{'}) c_{2, 3} mod n_{3} \\ . . . \\ b_{k} & = (. . . ((a_{k} - b_{1}) c_{1, k} - b_{2}) c_{2, k}) - . . .) c_{k - 1, k} mod n_{k} \end{aligned}

其中 $c_{i, j}$ 表示 $n_{i}$ 对 $n_{j}$ 的逆元， $c_{i, j} n_{i} \equiv 1 (\mod n_{j})$

扩展：模数不互质的情况

两个方程

设两个方程分别是 $x \equiv a_{1} (\mod m_{1})$ 、 $x \equiv a_{2} (\mod m_{2})$ ；

将它们转化为不定方程： $x = m_{1} p + a_{1} = m_{2} q + a_{2}$ ，其中 $p, q$ 是整数，则有 $m_{1} p - m_{2} q = a_{2} - a_{1}$ 。

由裴蜀定理，当 $a_{2} - a_{1}$ 不能被 $gcd (m_{1}, m_{2})$ 整除时，无解；

其他情况下，可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 $(p, q)$ ；

则原来的两方程组成的模方程组的解为 $x \equiv b (\mod M)$ ，其中 $b = m_{1} p + a_{1}$ ， $M = lcm (m_{1}, m_{2})$ 。

多个方程

用上面的方法两两合并就可以了……

推荐练习：POJ 2891

李永乐老师视频讲解

posted @ 2020-08-10 14:45 RioTian 阅读(996) 评论(0) 编辑收藏举报

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